Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Так как закон изменения скорости известен, то, решая обратную задачу кинематики, можно найти закон движения парашютиста
dx = v(t)dt, x(t) = ^v(t)dt,
При нахождении закона движения (11.20) для определения произвольной постоянной было использовано начальное условие: х=0 при ?=0.
Таким образом, задача полностью решена.
Несколько усложним начальные условия задачи: пусть при ^=O х=0, у=0, а начальная скорость V0= {О, U0}. В этом случае траектория движения является криволинейной (рис. 11.7). По-прежнему на парашютиста действуют две силы: сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха F0=—ks. Но теперь сила сопротивления Fc направлена по касательной к траектории и, следовательно, необходимо учитывать векторный характер второго закона Ньютона. Проецируя вектор силы сопротивления Fc на оси координат OX и OY, по второму закону Ньютона получаем
m^f=mg-kvx, (11.21)
m^-=-kvy, (11.22)
где Vx и Vy — неизвестные компоненты вектора скорости V.
Разделяя переменные в уравнениях (11.21) и (11.22),' после интегрирования с учетом начального условия (vx=0, Vy=V0 при /=0) находим
Vx=s J^(I-e-W«)'), (П.23)
Vy = V0C-W"1*'. (11.24)
Найдем теперь закон движения парашютиста. Подставив в соотношения dx=vxut и dy=vydt значения Vx и vy из уравнений (11.23) и (11.24), получим два дифференциальных уравнения для определения двух неизвестных функций*
64
x(t) и y(t) компонент радиуса-вектора г (t): (k = ^(l—е-<^) <) dt, dyr=u0e~Wm^ dt.
После интегрирования этих уравнений и учета начальных условий (х=0, у=0 при t=0) находим закон движения парашютиста в параметрической форме в виде двух уравнений:
x^t-^(l-e-W")<), (11.25)
^^(1_е-<*М) <). (11.26)
Закон движения, конечно, можно было бы записать и в векторном виде:
г(0 s (1__е-W«)t)J I+ [™l (і__e-w«> О] J
Теперь, зная закон движения, можно определить любой параметр, характеризующий данное механическое явление: в частности, исключая время t из системы уравнений (11.25) — (11.26), получаем уравнение траектории парашютиста:
Таким образом, и эта более сложная задача решена окончательно.
Силы, действующие на движущееся тело, могут зависеть не только от скорости, нои от времени t, от координат х, у, z и т. д. Рассмотрим такую задачу.
Пример 11.4 Двигатель тормозной системы развивает силу тяги, пропорциональную времени: F=—Ы, где ?=const. Пренебрегаятрением, определить, через сколько времени от момента включения тормозного двигателя тело массой т, на котором установлен такой двигатель, остановится. В момент включения двигателя скорость тела составляла V0. Считать, что масса двигателя много меньше массы тела.
Решение. Физическая система состоит из одного тела массой т, которое можно принять за материальную точку. Физическое явление, которое происходит в этой системе, заключается в движении этого тела в результате его взаимодействия с другими телами. Необходимо определить
65
А*
F=-kH
m
один из параметров этого движения — время движения Ii. Начальные условия очевидны: v= U0 и х=0 при ?=0. Траектория движения — прямая (т. е. движение одномерное). Конечная скорость тела равна нулю: и=0 при t=tx. Таким
образом, рассматриваемая задача является основной задачей динамики.
Применим второй закон ^ Ньютона (условия его при-/ менимости выполнены). За тело отсчета ИСО примем Землю. На тело действуют три силы (рис. 11.8): сила тяжести mg, упругая сила реакции опоры N (эти силы взаимно уравновешивают друг друга) и сила тяги F=—Ы\ тормозного двигателя (природа этой силы в механике безразлична). По второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение для одной неизвестной функции от времени t — скорости v(t):
11.8
т
dp (Q
dt
ы.
Разделяя переменные, интегрируя и учитывая начальные условия (V=V0 при /=0), находим закон изменения скорости:
V=V0-M2I'(2т). (11.27)
Полагая в уравнении (11.27) конечную скорость v равной нулю, получаем уравнение для определения времени движения tt:
O = U0-М\1(2т).
Отсюда находим формулу для вычисления искомого времени:
tx = V2nwJk. (11.28)
После анализа решения можно поставить и другие задачи, например определить тормозной путь тела и т. д. Для определения тормозного пути Xi необходимо знать закон движения. Последний получают после решения обратной задачи кинематики:
x=vut—kt3/(6m).
(11.29)
66
Подставляя в закон движения (11.29) значение времени торможения ti из (11.28), находим тормозной путь:
Далее, зная закон движения тела, можно определить любые параметры и величины данного физического явления. Нетрудно и еще более усложнить задачу, учтя, например, силу трзния и т. д.
Мы рассмотрели несколько различных задач на динамику материальной точки. В одних из них силы были постоянны, в других силы изменялись, но метод, подход к решению всех этих задач был одним и тем же: это был метод применения трех законов Ньютона (в особенности второго) для определения какого-либо одного параметра движения (скорости V, ускорения а). Далее для нахождения закона движения обычно решалась обратная задача кинематики. Совокупное применение системы трех законов Ньютона (в особенности второго) и составляет сущность динамического метода решения задач по физике.
