Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Задача сложная. Попробуем ее упростить, а затем последовательно учесть сделанные упрощения.
Предположим, что: а) коэффициент трения /і=0, б) угол CC1=O, в) угол а2=90°, г) клин закреплен (Z3=Co). Тогда мы получаем сравнительно простую задачу, которую можно сформулировать следующим образом: к концам невесомой и нерастяжимой нитщ перекинутой через невесомый блок, привязаны два тела массамит-і=! кг ит2=10 кг (рис. 11.3); тело может двигаться по гладкой горизонтальной и неподвижной поверхности; найти силу натяжения нити.
Решим эту задачу. В физическую систему включим четыре тела: тело тх, тело т2, нить и блок. Тела т± и т2 можно
47
принять за материальные точки. Физическое явление, которое происходит в этой системе, заключается в механическом движении тел. Тела системы взаимодействуют как между собой, так и с внешними телами (стол и Земля). Под действием этих сил тела системы (за исключением блока) движутся прямолинейно и равноускоренно. Таким образом, перед нами основная задача динамики. Для ее решения применим второй закон Ньютона в форме (11.4). Этот закон можно применять только к телам тх и т2 (нить и блок — нематериальные точки). Выберем стол в качестве тела отсчета инерциальной системы отсчета (ИСО), а оси координат OX и OY направим так,
11.2
Yi
I
/77»
как показано на рис. 11.3.
Рассмотрим тело тъ На него действуют следующие силы: сила тяжести mig (в результате взаимодействия тела тх с Землей по закону' всемирного тяготения), сила реакции опоры N (упругая сила взаимодействия тела mi со столом) и сила натяжения нити FH (упругая сила взаимодействия тела mx и нити). Остальные силы малы. Найденные силы уже спроецированы на оси OX и OY. Следовательно, можно сразу записать второй закон Ньютона в виде двух уравнений в проекциях на оси координат OX и OY:
11.3
ttii?\x—F н, m1a1y=m1g-
(11.5) (11.6)
где Uxx и а1у — проекции вектора ускорения ах тела mj на оси OX и OY. Так как а1у=0, то N=mxg.
Рассмотрим тело т2. На него действуют сила тяжести m2g и сила натяжения нити FH.
Из рис. 11.3 видно, что проекции этих сил на ось OX равны нулю, а алгебраическая сумма проекций этих сил на ось OY равна mag—Fa. Следовательно, по второму закону
48
Ньютона для тела т2 получаем
m2a2y=m2g—F^ (11.7)
где а2у — проекция вектора ускорения а2 тела т2 на ось OY. Нетрудно показать, что проекция вектора ускорения а2 на ось OX равна нулю (а2х=0). Так как а1х=а2у=а, то система уравнений (11.5) — (11.7) принимает вид
Ht1U=Fn, (П.8)
m2a=m2g—FH. (11.9)
Таким образом мы составили замкнутую систему из двух уравнений с двумя неизвестными (а и Fa). Задача физически решена (физический этап решения задачи окончен).
Решая полученную систему уравнений (11.8) —(П.9), находим ответ в общем виде:
a=—~—g, (Li.10)
F _тр_ (ПЛ1)
После расчета получаем числовой ответ: а«8,9 м/с2, FK?&8,9 Н. Окончен и математический этап решения задачи.
Полезно провести последний этап решения задачи — этап анализа решения. Из формулы (11.10) видно, что ускорение системы зависит как от ти так и от тг. Рассмотрим два предельных случая: 1) тС$>тг и 2) тх<Юп2. В первом случае U^g(Tn2Im1), т. е. ускорение а мало (маленькое тело т2) тянет огромное тело mi). Во втором случае ускорение a&g, т. е. система под действием большого тела т2 движется почти с максимально возможным в данном случае ускорением, равным g. Таким же образом по формуле (11.11) можно провести анализ зависимости силы натяжения F11 от масс тел mt и тг.
Учтем теперь сделанные выше упрощения.
а) Пусть коэффициент трения Zi=^O. Тогда на тело тг дополнительно действует сила трения FTP=fiNi, направленная противоположно оси ОХ. Условия для тела т2 остаются прежними. Применяя к каждому телу второй закон Ньютона, получаем замкнутую систему уравнений:
(U1Ci=F11—fWig, m2a=m2g—Fu.
49
Решая полученную систему, находим
а Wi+ /ия s'
н Wi1+т2
¦ff.
(11.12), (11.13)
Отсюда а«8,74 м/с2, FH« 10,68 Н.
Сравнивая (11.12) с (11.10) и (11.13) с (11.11), мы видим,: что с учетом силы трения ускорение системы становится*
меньше (на сколько меньше и от чего это уменьшение! зависит?), а сила натяже-] ния нити возрастает. '
б) Предположим, что] «1=7^0 и }гф0. Условия дляі тела т2 не изменяются] Силы, действующие на тела nil и т2( показаны на]
11.4
ла trii и т2( показаны на рис. 11.4. Учитывая, чта Nt=mig COSCt1 и FTp=/^ *=fifnig cos аь получаем замкнутую систему уравнений^- •""
mia=FH—/і/п^ cos Ct1—/ttig sin Ct1, m2a=m2g—FH. После решения этой системы уравнений находим т2—fitni cos (X1—Ш\ sin (X1
т.\-\-т2
р _ /"г (1 + /1 cos аг -f sin H_ +m2 «*
Отсюда a«8,32 м/с2, FH«14,9 H. Таким образом, ускорен ниє уменьшилось, а сила натяжения нити возросла.
в) Допустим теперь, что Ct1=Tt=O, ct2=7==90°, їхфО и f^Gi Силы, действующие на тела Zn1 и т2, изображены на рисі 11.5. По второму закону Ньютона для тел тг и т% получЛ
50
ем
Ui1U = Fn- F'yp—mxg тга — m2g sin a2 — F'T
(11.14) (11.15)
Учитывая, что Nx=mxg cos ab N2=m2g cos a2, /? = =/1^1=/1^1^ cos ai. ^=/2^2=/2^2^ cos a2, систему уравнений (11.14) — (11.15) можно записать в виде
