Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Наоборот, в последующих утверждениях мы имеем дело с типичными скалярами: „Ленинград на 30 градусов восточнее Лондона", „Сегодня продолжительность дня в Москве составляет 12 ч", „Знаменитые „Начала" Ньютон опубликовал в возрасте 44 лет", „Расстояние между точками А и О равно 5". Опираясь на исходное определение, читатель может убедиться в этом сам.
2. Вектором называют величину, характеризуемую численным значением, направлением в пространстве и складывающуюся с другой, себе подобной величиной геометрически.
Подчеркиваем, что последняя часть определения является не свойством вектора (что нередко утверждается), но именно неотъемлемой частью определения. Первые два требования необходимы, но недостаточны. В незнании этого заложен источник многочисленных ошибок.
Рассмотрим такую физическую величину, как сила тока. Численное значение силы тока I находится по известной формуле I — AQIМ. Можно договориться для тонкого проводника считать направлением тока направление касательной к проводнику в соответствующей точке. Известно, однако, что токи, например, в точке, где цепь разветвляется, складываются алгебраически, но не геометрически. И сила тока, оказываю-
придется говорить, что число е равно числу я и т. д. (см. для примера задачи 14, 59).
Существуют, однако, общепринятые понятия, смысл которых одинаков во всей научной литературе (например, скаляр и вектор). Для них разработан соответствующий математический аппарат, им можно сопоставить вшмще определенные величины в физике. Мы и назвали „неточными", „неверными", такие определения, которые отличаются по содержанию от общепринятых.
в щаяся вектором по „урезанному" определению, в действительности является скаляром.
3. Из приведенного определения вытекают, в частности, следующие свойства векторных величин.
а) Любое векторное равенство (только в рамках элементарной физики) эквивалентно системе трех скалярных. Так, если а — ускорение тела под действием силы F, исходное векторное соотношение a = (l/m)F (II закон Ньютона) эквивалентно трем скалярным:
ax = (\/m)Fx, ау = (l/m)Fy, az = (Ifm) Fz,
где ах, ау, аг, Fx, Fy, Fz — проекции векторов а и F на координатные оси х, у, z *.
б) Наряду с геометрическим способом сложения векторов (правило многоугольника) существует и алгебраический способ. Пусть отыскивается вектор F такой, что F = F1 -)- F2 -)- ... .
Тогда проекции вектора F на координатные оси X1 у, Z подчиняются соотношениям
Fx = Flx + F2x + ..., Fy = Fly +Fiy + ,.., Fz = Flz +F2z + ....
В школьных задачах нередко все события разворачиваются в одной геометрической плоскости. Тогда разумным выбором ориентации осей можно свести эту систему к двум скалярным равенствам.
в) Векторные величины могут быть связаны друг с другом только знаком равенства. Поэтому из выражений A = B, Л - И, А > В, А > 0 имеет смысл только первое. „Больше", „Меньше" можно говорить лишь о модулях или проекциях векторов.
Иногда, правда, в литературе встречаются выражения типа „Подъемная сила аэростата больше его веса", „Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше ускорения свободного падения на Земле" и т. д. Разумеется, здесь речь идет не о силах и ускорениях (и те и другие векторы), но об их модулях, или проекциях на вертикальную ось во втором случае. Такая подмена понятий особенно часто встречается, если рассматриваемые векторы направлены по одной прямой (как в первом из приведенных примеров).
4. Введенные выше чисто математические понятия — скаляр и вектор — следует уметь использовать для описания физических явлений. Укажем на ряд особенностей такого использования.
* Так, по инерции, утверждается, кажется, везде. Но проекции вектора на координатные оси, входящие в упомянутые три равенства, не есть скаляры (сы, выше определение скаляра),
10 Прежде всего необходимо подчеркнуть, что в основе физики лежит эксперимент. Отнести ту или иную физическую величину к скалярным или векторным можно лишь на основании экспериментов, подтверждающих справедливость этого. Распространенные суждения типа „Силы (ускорения, скорости и т. д.) складываются геометрически, так как это — векторы" принципиально ошибочны, причина и следствие здесь поменялись местами, телега поставлена впереди лошади. Следует говорить: „Установлено опытом, что сила характеризуется численным значением, направлением и складывается с-другой силою по правилу параллелограмма. Следовательно, сила — вектор и, описывая силы, можно использовать разработанный для векторов математический аппарат".
Из определения, в частности такого, когда некоторая физическая величина определяется через другую, векторную физическую величину с помощью линейного соотношения (например, E = (1 Iq) F, где E — напряженность электрического поля, F — сила, действующая на точечный_ заряд q), вообще говоря, не следует, что новая физическая величина — вектор *. Последнее можно установить лишь экспериментально (см. задачу 106).
Формально можно найти сумму любых одноименных скаляров и векторов, разложить заданный вектор на составляющие бесконечным числом способов. Однако при изучении природы мы безоговорочно можем использовать эти операции, только если их результаты имеют физический смысл. Пренебрежение этим требованием вызывает такие характерные ошибки, как а) сложение масс тел, каждое из которых движется со своим ускорением, подлежащим определению; б) сложение сил, приложенных к разным телам, в задачах, где интерес представляет относительное движение этих тел (в том числе оперирование с не существующей в природе центробежной силой); в) попытка приписать смысл одной из составляющих векторной физической величины без учета физического смысла другой составляющей (задача 1); г) применение к отдельным составляющим законов, сформулированных для векторных величин (в частности, II закона Ньютона), и т. д.
