Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
3 АД А Ч А 5
Определить скорость оси катушки в условиях предыдущей задачи, если нить составляет угол а с горизонтом. Доказать, что при некотором значении а0 угла а качение без проскальзывания невозможно, и найти это значение.
РЕШЕНИЕ
Движение катушки представим как вращение вокруг мгновенной оси В. Тогда, если V^ есть скорость точки касания А нити и внутреннего цилиндра катушки, то \а _L AB и vA = v/sin ?
14 (см. решение задачи 1). Величину угла ? (см. рисунок) легко определить по данным задачи:
R sin а
cos ? = ¦
У R? + г2 — 2rR cos а' после чего скорость катушки можно рассчитать по формуле
R
V0 = *АЖ
vR
г — R cos а I *
При условии, что cos CC0 = r/R, выражение для величины V0 теряет смысл. В этом случае нить направлена вдоль касательной к внутреннему цилиндру, проведенной из точки В. При таком направлении нити качание без проскальзывания при заданной величине v невозможно (см. предыдущую задачу). Если а <^а0, катушка катится вправо, при а !> а0 — влево.
Найти величину а0 можно и не определяя величины скорости катушки. Чтобы
заставить неподвижную катушку катиться по столу, нужно воздействовать на нее силой так, чтобы момент этой силы относительно мгновенной оси вращения В был отличен от нуля. Следовательно, если линия действия силы проходит через ось вращения В, чистое качение невозможно.
77777777777777777777777777777
К задаче 5.
З А Д А Ч А 6
Автомобили А и В движутся равномерно с одинаковыми скоростями по прямым, пересекающимся в точке О дорогам 1 til 2. Определить минимальное расстояние между автомобилями, если известны их начальные положения (АО = а и ВО = в), скорость у и угол а между дорогами (см. рис. а).
РЕШЕНИЕ
В задачах на максимум и минимум всегда полезно с самого начала убедиться, если это возможно, что искомый результат существует. Обычно это подсказывает и основную идею решения. Следует, конечно, помнить, что всякое предположение нуждается в доказательстве. При решении задач мы будем иногда опускать наши интуитивные соображения, полагаясь на сообразительность читателя.
1-й способ. Искомое кратчайшее расстояние можно определить расчетным путем. Расстояние между автомобилями в момент времени t определим по теореме косинусов
R*AB = (a —vtf-\-(Ъ —vtf+ 2 (a —vt) (Ь —vt) coa a. '(I)
15 Необходимо найти минимум величины Rab как функции времени. Для этого воспользуемся следующим приемом: рассмотрим соотношение (1) как квадратное уравнение относительно величины t. Корни этого уравнения определяются соотношением tU2 = = (a + b)/2v ± Dil2, в котором D есть дискриминант уравнения, равный
(д-Ь)'(созсс-1) + 2Д^в
— Av2 (cos а +1)
Физический смысл корней следующий: если дискриминант неотрицателен, расстояние между автомобилями принимает одно и то же значение в два различных момента времени. Таким образом, искомое минимальное расстояние R0, на котором автомобили
К задаче 6.
находятся только один раз (в момент времени J0 = (a + b)/2v), достигается при D = 0. Тогда i?o = (а — Vf (1 — cos а)/2. Представив выражение (1) в виде
RsAB = Rl + 2i;2 (1 + cos а) (f - ,
убеждаемся, что Rab S= -Ro-
2-й способ. Поскольку автомобили движутся с одинаковыми скоростями, то в момент времени t' = (a + b) v автомобили „поменяются" местами, т. е. автомобиль А окажется на расстоянии Ъ от точки пересечения дорог, а автомобиль В — на расстоянии а. Таким образом, в рамках поставленной задачи автомобили равноправны, и можно догадаться, что в искомый момент времени автомобили должны быть симметричны относительно точки О, т. е. находиться от нее на одинаковых расстояниях. Попробуем проверить это предположение.
Обратимся к рис. б и выясним, справедливо ли неравенство AiBi > ^1Blt если A1O — B1O и A1A2 = B1Bt. Построим парад-
ів лелограмм A1B1B2C. Так как Д CA1A2 — равнобедренный, то отрезок' A2C параллелен биссектрисе /_ A1OB1, т. е. A2C _1_ B2C. Отрезки A2B2 и CB2 =¦= ^l1B1 являются, соответственно, гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника CA2B2, что и доказывает справедливость исходного неравенства, а значит, и нашего предположения. После этого нетрудно найти и величину кратчайшего расстояния между автомобилями.
3-й способ. Два предыдущих метода не лишены недостатков: первый требует сравнительно громоздких выкладок, во втором нужно заранее угадать результат, что не удалось бы, если бы скорости автомобилей были различны. Предлагаемый дальше способ свободен от этих недостатков и позволяет без вычислений построить искомый отрезок и соответствующие положения автомобилей.
Рассмотрим движение автомобиля В с точки зрения наблюдателя, находящегося в автомобиле А. Скорость такого движения равна, как известно, разности \в — V^ и постоянна по величине и направлению. Это значит, что относительно автомобиля А автомобиль В движется по прямой линии 3. На рис. в прямая 3 изображена пунктиром для того, чтобы подчеркнуть, что она нарисована, в системе отсчета, связанной с автомобилем А. Следовательно, автомобили находятся ближе всего друг к другу, когда автомобиль В проходит через точку В', являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую 3. Отрезок AB' равен искомому кратчайшему расстоянию между автомобилями.
