Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
20 при всевозможных направлениях движения человека лежат на окружности радиусом V2 с центром в точке О.
Прямую, по которой бежит человек во введенной системе отсчета, следует провести так, чтобы она проходила как можно ближе к точке А и имела общие точки с окружностью. Этим условиям удовлетворяет проведенная из точки В касательная к окружности.* Следовательно, искомое направление движения человека (угол ф) и кратчайшее расстояние до автомобиля Rmin таковы, что cos ф = = v2/vlt Rmin = AC = a sin ф, AC _L ВС для случая v2 V1.
Если V2 > V1, то V1Iv2 sg; cos ф ^ 1, /?тш = 0 и человек может бежать в любом направлении в пределах указанного сектора (см. рис. в): условия задачи не запрещают бегущему достдчь какой-то точки дороги раньше, чем через эту точку пройдет автомобиль, и в этом месте подождать автомобиль.
Наконец, при условии, ЧТО V1 = V2, человек может сколь угодно близко подбежать к автомобилю, выбрав соответствующий малый угол ф.
Читателю предлагается самому доказать эти утверждения и построить соответствующие чертежи.
ЗАДАЧА 10
Велосипедисту необходимо кратчайшим способом попасть из пункта А в пункт В. Из E в В ведет дорога (см. рис. а), по которой можно ехать со скоростью V1. Пункт А находится на лугу, скорость передвижения по которому V2. Расстояние AD равно а, AB равно в. Как должен ехать велосипедист?
РЕШЕНИЕ
Нетрудно догадаться, что если V1 > Vi, то самый короткий путь AB не обязательно требует наименьшего времени. Велосипедисту выгодно использовать преимущество передвижения с большой скоростью по дороге, сократив, насколько возможно, медленную поездку по лугу.
Допустим, что велосипедист движется по ломаной АСВ. На это затрачивается время
t = AClv2 + CBlv1 = Ya2 + CD211V2 + (BD - CDyv1,
или _
t = (V2BD+ (J)ZV1V2, где CT = V1 Va2 + CD1 - v2CD.
Необходимо найти минимум величины а как функции CD. Представим-последнее выражение в виде квадратного уравнения относительно величины CD, т. е.
1 у| — Vl 1 — v\
* Внимательный читатель заметит, что из точки В проходят две касательные к окружности, расположенные на одинаковых расстояниях от точки А. Решение, однако, дает лишь одна из них. Почему?
21 Решения уравнения имеют смысл при условии, что дискриминант неотрицателен:
( Y в2 -"IgV0
\vl-v\J Vl-Vl •
Отсюда для наименьшего. значения а получаем выражение Cfmin = ® К — При этом CD = av2/(v\ — і>1)1/2- Следова-
тельно, если BD = (Ь2 — a2)1/2 ^ avj(v\ — то нужно ехать
из А в В по прямой; в противном случае следует избрать путь вдоль ломаной ACB.
Отметим, что если кратчайшим путем является ломаная ACB, то справедливо, что sin a = UiIv1.
Рассмотрим аналогичную задачу. Велосипедисту нужно кратчайшим способом попасть из А в В. Пункт А расположен на лугу,, пункт В — на песчаном пляже. Пляж и луг разделены границей MN (см. рис. б). Скорости передвижения по лугу и пляжу равны соответственно величинам и v2. Все расстояния известны, т. е. AP — а, ВО = Ъг OP = с. Какой путь должек быть избран велосипедистом?
22 Здравый смысл подсказывает, что и в этом случае решением задачи может оказаться некая ломаная АСВ, если верно найти точку С. Предполагается, что V1 ]> v2. Допустим, что точка С каким-то образом найдена, так что всякий другой путь AxB требует большего времени. Если мы построим график зависимости времени поездки от величины Px, то должны получись кривую, похожую на изображенную на рис. е. Эта кривая касается прямой і = <min при Px = PC, поэтому вблизи точки Q прямая и кривая почти совпадают. Это означает, что если велосипедист избирает путь AC1B (рис. г), пересекающий границу MN в точке C1, близкой к С, то время поездки такое же, как и на пути ACB: скорость изменения величины І вблизи значения ^min мало отличается от нуля (рис. в).
Сравним друг с другом пути ACB и AC1B (рис. г). Будем считать, что углы P1 и ?2 настолько малы, что CE ^ AC — AC1 и DC1 ^ BC1 — ВС, где E и D — основания перпендикуляров C1E и CD, опущенных на отрезки AC и BC1. Велосипедист, избирая путь AC1B вместо АСВ, сокращает время езды по лугу на величину Ai1 = CEIv1, но по песку едет дольше на величину Ai2 = DC1Iv2. Так как общее время поездки вдоль AC1B примерно равно imщ, то Ai1 » Ai2- Из чертежа находим, что CE = CC1 sin Oc1, C1D = = CC1 sin а2, откуда sin o^/sin а2 » V1Iv2, причем последнее соотношение выполняется тем лучше, чем ближе друг к другу точки С и C1.
Полученное соотношение совпадает по форме с законом преломления света на границе раздела двух сред, если принять, что показатель преломления п21 при переходе света из среды 1 в среду 2 равен отношению скоростей света в этих средах, n21 = V1Iv2 (в действи-' тельности так оно и есть). При этом можно сказать, что световой луч, преломляясь, следует по кратчайшему пути. Обобщение этого утверждения содержится в знаменитом принципе Ферма: траектория распространения света из одной точки в другую такова, что для ее прохождения свету требуется минимальное (точнее экстремальное) время по сравнению с временем прохождения любых других возможных траекторий между этими точками.
