Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧА 11 *
Пассажир, опоздавший на свой поезд, решил сначала догнать его на такси, однако через некоторое время он пересел на автобус, заплатив за билет А руб, и прибыл на одну из станций одновре-
* Авторы сознательно включили в сборник типично математическую задачу типа задач на составление уравнений, так как в механике невозможно провести границу между „физическими" и „математическими" задачами, и, кроме того, это позволяет продемонстрировать некоторые полезные, но мало популярные в школьной математике способы решения кинематических задач.
23 менно с поездом. Между тем обнаружилось, что если бы он продолжал ехать на такси, то догнал бы поезда на х ч раньше, истратив при этом на В руб меньше. Какова скорость поезда v, если скорость такси V1 км/ч, автобуса V2 км/ч, стоимость проезда 1 км на
такси а руб и шоссе проходит параллельно железной дороге?
&
РЕШЕНИЕ
1-й способ. Условимся, что поезд покинул исходную станцию в момент t = 0, пассажир опоздал на поезд на Ai ч, пересел на автобус в t1 ч и догнал поезд в T ч.
К моменту встречи пассажир и поезд проходят одинаковое расстояние, т. е.
VT = V1(I1-M)-^V2(T-I1) (1)
в случае поездки на такси и в автобусе и
V(T-X) = V1(T-X-M) (2)
в случае поездки только на такси.
Доплата за такси во втором случае составляет (А — В) руб, а дополнительное расстояние, покрытое на такси за эту сумму, (А — В)/а км. Это дает еще одно уравнение
(А-В)/а = V1 (T-x-tj). (3)
Условия задачи исчерпываются системой уравнений (1)—(3) с четырьмя неизвестными. Кратчайший путь к получению ответа таков: уравнения (1) и (2) вычитаются одно из другого, после чего в полученное уравнение подставляется величина T — х из (3). Результат имеет вид
V = V2-(A-B) (V1 — V^jaxv1.
Примечание. Как известно, система из т уравнений для п неизвестных неразрешима, если т п. Не следует забывать, однако, что под „неразрешимостью" понимается невозможность найти значения всех п неизвестных, что, как в данной системе, совсем не исключает возможности нахождения нескольких из них.
2-й способ. Представим условия задачи в графической форме в прямоугольной системе координат, откладывая по оси абсцисс время с момента выезда пассажира из исходного пункта, по оси ординат — расстояние пассажира от поезда (см. рисунок), т. е. перейдем к системе отсчета, жестко связанной с поездом. Условимся считать, что отстающий пассажир находится на отрицательном расстояний от поезда; OD — отставание пассажира в начальный момент времени. На графике отрезок DA изображает
24 поездку в такси, AC — на автобусе, AB — предполагаемое продолжение поездки на такси. Движение самого поезда на нашем графике изображается линией, совпадающей с осью абсцисс, так как поезд в нашей системе отсчета неподвижен. Очевидно, что ВС = т, tg a = V2 — и, tg ? = V1 — v. Отрезок OE, равный проекции отрезка AB на ось ординат, есть величина отставания пассажира от поезда в момент пересадки с такси на автобус. Известно, что дополнительное расстояние, пройденное на такси со скоростью V1, равно (А — В)Ia км. За то же время при движении со скоростью V1 — V будет пройдено расстояние [(А — В)/а] ¦ [(? — v)/v1] км. Следовательно,
AB=OEfsiiiV = = [(А -В)/а sin ?] [(V1-V)IV1].
Применяя к AABC теорему синусов, получим, что
т V-, — V А — В //ч т. ..
-T-T5-г - ----:-7—5. (4) к задаче И.
sin (р — a) V1 a sin а • sin р 4 '
Воспользовавшись формулой для синуса разности углов, преобразуем последнее уравнение к виду
т г,—V А—В
tg? —tg а'
a tg а • tg ?'
откуда V = V2 — (А — В) ¦ (V1 — v2) Iarv1.
Преимущество изложенного метода по сравнению с предыдущим заключается прежде всего в его большой наглядности. Вся содержащаяся в условиях задачи информация связана с элементами /\АВС, а основная идея решения заключена в единственном уравнении (4). Дальнейшие выкладки лишь преобразуют это уравнение к удобному виду. Кроме того, метод не требует введения вспомогательных неизвестных величин At, t1 и T, которые в дальнейшем необходимо исключать из системы уравнений.
Вообще, во всех случаях, когда условия задачи позволяют построить какой-то график, это следует делать; ничего, кроме пользы, это не принесет.
В заключение заметим, что формулировка задачи избавляет нас от необходимости исследовать ответ в зависимости от численных значений входящих в него величин.
З А Д А Ч А 12
Торможение электропоезда метро должно начинаться на расстоянии S = 200 м до станции.
а) На каком расстоянии от станции окажется поезд, идущий со скоростью V = 30 м/с, через 7с после начала торможения с ускорением а = —5 м/с2?
25 б) С какими скоростями V1 и V2 должны идти два поезда, если их нужно затормозить с ускорением а = —5 м/с2 за tt = IOc и~tt = 15с от начала торможения до полной остановки?
в) Какое ускорение следует сообщить поезду, идущему со скоростью V = 30 м/с, чтобы через t = 20с после начала торможения он не дошел до станции AS = 50 м?
Отвечая на поставленные вопросы, школьник воспользовался уравнением равнопеременного движения
