Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
00 2
P {max Wt > х) = 2Р (Wr >х}= I/ \e~wdy, (1.6)
t 7" ^ t^
JT
где х>0, Г>0. Вытекает это, например, из (1.5) и элементарного свойства автомодельное™ Wt, которое говорит, что c~lWc*t— винеровский процесс для любой постоянной C=TfcO. Не намного сложнее следующий факт, который позволяет исследование поведения Wt при больших t свести к исследованию этого поведения при малых і.
Теорема 1.7. Если Wt — винеровский процесс, то tWi/t — винеровский процесс при *>0. Кроме того, tW\/t-*-0 (п. н.) при fjo.
Возвращаясь к (1.6), найдем еще распределение момента первого достижения тх процессом Wt уровня X. Так как {tx< Г} = {max Wt > х}, то
KT
_ OO 2 OO .
P{zx<T}=Y^r§e~^dy=yT j e~*dy, Т>О, х>0. (1.7)
X/Vt
Это так называемое распределение Вальда, играющее важную роль в теории вероятностей, математической статистике и, как ни странно, в теории параболических и эллиптических уравнений в частных производных. Оно имеет плотность, равную
__
х р W YiInT1
Из вида этой плотности следует, что Ет"<00 для х>0 только при ссб (0, 1/2).
2—7927 17 § 2. Вероятностная конструкция решения уравнения теплопроводности. Связь винеровского процесса с оператором Лапласа
1. Броуновское движение вызывается тепловым движением молекул. С последним, как известно, связано также уравнение теплопроводности вида
+ 0. (2.1)
Поэтому неудивительно, что винеровский процесс связан с уравнением (2.1). В простейшем случае задачи Коши для уравнения (2.1), когда оно рассматривается в полосе (t, х) б (0, Т) Х?\ с граничным условием
u(T,x)=g(x), XGEu (2.2)
эта связь устанавливается очень простым способом. В самом деле,
-т-t
5 f (t + s, x + Ws)ds+g (x + WT-t)
L 0
T-t JL?
- і —= Г fit-Jr-S, X-jT у) e ^dyds -t-
J У 2ns ,) ¦ '
1
К2л(7- —О
\g(x+y)e чг-'Ыу,
(2.3)
и последнее выражение, как известно из теории дифференциальных уравнений, является решением задачи (2.1) — (2.2), если, например, g, f ограничены, g — непрерывна, f — удовлетворяет условию Гёльдера по (t, х) с некоторым показателем аб(0, 1). Левая часть (2.3) является частным случаем общей формулы, которая годится и для представления решения и уравнения (2.Ц в произвольной области Qcz (0, оо) Х-^ь ограниченной по оси t. Оказывается, что в широких предположениях при (/, л:) GQ
't(t.x)
u(t,x)^E j f(t + s,x + Ws)ds+u(t^-x(t,x),x + WxitlX))
о
(2.4)
где r(t,x) — момент первого выхода «теплового» процесса x+Ws), как функции от sG(0, оо), из области Q. В свою очередь формула (2.4) является весьма частным случаем вероятностного представления решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений. Подобные формулы легче всего получать с помощью замечательной формулы Ито,
18 о которой пойдет речь в. следующем параграфе. Однако для частного случая теплового процесса в справедливости формулы (2.4) можно убедиться и иначе, используя следующую схему рассуждений.
Пусть, например, Qcr (0, Т)\Еи а функцию и можно распространить вне Q на все [0, TJX^i до гладкой функции, которую также будем обозначать и. Определим f всюду в (OfT)XE1 по формуле (2.1). Тогда, как сказано выше, u(t, х) равно левой части (2.3) с g(х) =и(Т, х). Отсюда
X) T-%(tjX)-t
u(t, X) = E jj f(t + s, X + Ws) ds 4-Е jj f (t + t (t, x) +s,
о L о
+ Wx{f,x) + (Wx[tlX)+s- WTit,x)))ds + g (X + Wx(t,x) +
+ (WT-X(t,x)-t+x(t ,X) —Wt(*,.c)))]- (2.5)
Во втором математическом ожидании ^t(t, x), W%(ttXr)) и процесс Wx(t,x)+S — WX(t,X) независимы и последний процесс является
винеровским. Это утверждение (так называемое строго марковское свойство винеровского процесса) является утверждением типа теоремы 1.2. Поэтому второе слагаемое в (2.5) равно
'Т-г
ЕЕ
J f(r + s,y + Ws) ds + g (У + Wr-r)
r = !+%(t,x) У=х+wx{t,x)
= YLu(t + X (t, X), x + Wx(/,x)),
причем, последнее получается из равенства u(t,x) левой части (2.3).
Равенства типа формулы (2.4) интересны как с точки зрения теории вероятностей, так и с точки зрения теории дифференциальных уравнений. Например, пусть нас интересует среднее время, которое понадобится винеровскому процессу для того, чтобы выйти из интервала (—а, Ь), где а>0, 6>0. Пусть т — момент первого выхода Wt из (—a, b), Q=(O1T)X X (—a, b), u(t, х)=и(х) = (Ь—х)(х+а). Тогда 1, т(0,0) = =тЛ Г, и в силу (2.4)
а& = «(0,0) = Е[тДГ+«(ГгЛт)]. (2.6)
Из формулы (1.7) следует, что т= (тьЛт-0) конечна с вероятностью 1, а так как U(Wx)= 0, если т<°о, то полагая T-*-оо, из (2.6) заключаем Et—ab.
Формула (2.4) показывает, что решение уравнения (2.1) в области Q однозначно определяется по f и по значениям и. только в тех точках <?Q, которые можно соединить хотя бы с одной точкой (/, л;) GQ непрерывной кривой вида (t+s,
2* 19 s^О, где X0=0. Этот факт относится уже к теории дифференциальных уравнений и выделяет так называемую параболическую границу Q.
Вот еще одно простое применение формулы (2.4) к теории дифференциальных уравнений:
Теорема 2.1. (А. Н. Тихонов). Пусть функция u(t,x) непрерывна в [0, TJXfb имеет непрерывные по (t, х) производные вида щ, ихх в (O5T)Xfi, и, кроме того, ut+^ Uxx=O в
