Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве примера применения приведенного выше правила рассмотрим так называемый процесс Орнштейна—Уленбека, который часто встречается в физических и других приложениях, поскольку он является простейшим непрерывным стационарным процессом. Одномерный гауссовский процесс It с нулевым средним называется процессом Орнштейна—Уленбека, если E?(!s = e-|i-sl при t, S^0. Аналогично рассуждениям, следующим за теоремой 1.4, можно показать, что имеет непрерывную модификацию, а поэтому мы будем предполагать, что процесс It непрерывен. Далее, при t^s, /Q&O
E (lt+h - e~hlt) Is = e-« + ^) ~ e-Ae-c-*),
откуда по теореме о нормальной корреляции вытекает, что it+h — e~hlt не зависит от траектории Is при т. е. не за-
висит от
E \lt+h-erhlt I Fh = E (I™ -е-%) = 0, E {(h+fl-e-%y I Fh = E (lt+h - е-%У = 1 -е-™, E ((Uft-Itf {(Ь+п-е~% +(e~h-1)Itf I^l =
= 1 - Є"2Л+(Є-Л~1)2.
1 Следовательно, в этом случае at = 2, = —|г и (4.3) дает так называемое уравнение Ланжевена
t
lt = l0 + V2Wt-\lsds, t>0. о
Еще один важный пример дает так называемый броуновский мост или условный винеровский процесс, играющий важную роль в статистике (даже одномерных случайных величин). Броуновский мост — это одномерный винеровский процесс Wt, рассматриваемый при условии, что I^i = O. Поскольку P(U7I=O) = = 0, то это определение следует уточнить. На самом деле говорят, что одномерный непрерывный процесс "gt, 1], является броуновским мостом, если для любых O^i^sC.. .^tn<C. 1 распределение (с/1, . . . ,Itn) имеет плотность, совпадающую с условной плотностью ..., Wtn) при условии, что Wi=O. Так как последняя является гауссовской, ТО — гауссовский процесс. Далее, аналогично предыдущим вычислениям, находим, что процесс Wt—tW\, /ё[0, 1], не зависит от Wi. Отсюда при
EUs-rimp[iW\l<e} EWtWJiIWlKs)=
= lim р { ^ < s] E (Wt - tW,)(Ws -SW1)/ {I IF1Ks) = = E (Wt -tWl)(Ws-sWl)= s - ts, 1,)^ = 0,
E(Uh-IlI^)=-Itj-,
bf=-r~rh, at = \.
Стало быть, мы приходим к следующему соотношению:
t
It = Wt-^l-^lsds
о
с некоторым винеровским процессом Wf.
3. До сих пор мы приводили примеры стохастических уравнений Ито с постоянным коэффициентом а. Их разрешимость часто удается доказать, опираясь на теорию обыкновенных уравнений так, как это сделано для уравнения (3.17) с помощью введения нового процесса гіг = It—aWt. При этом нужно, чтобы для соответствующего обыкновенного уравнения теорема существования решения была известна. Нетрудно привести примеры, показывающие, что уравнение xt = b(t,xt) может
32 не иметь решений, если b(t,x) только измерима. Тем более удивительна такая
Теорема 4.1. (А. К. Звонкин [12], d = 1; А. Ю. Веретенников [6], Пусть [WttSTt) —d-мсрный винеровский процесс, о — действительная постоянная, аф0, b(i,x)—ограниченная борелевская функция от (/, х) б[0, оо) X?d со значениями в Ed-Тогда существует — измеримый при каждом СзЮ d-мерный непрерывный процесс It такой, что при всех t сразу с вероятностью 1
t
lt = oWt+\b(s,ls)ds. (4.4)
6
Кроме того, если процесс Tit t — измерим при каждом О и также удовлетворяет уравнению (4.4) при всех t сразу (п. н.), то It = Tit VO=O (п. н.).
В частности, из теоремы 4.1 следует, что для почти всякой винеровской траектории Wt обыкновенное уравнение
t
Tit==J b(s, Tis-aWs)ds (4.5)
о
имеет решение. Единственность же его с точки зрения теории обыкновенных уравнений несколько экстравагантна; не утверждается, что для почти всякой индивидуальной винеровской траектории решение (4.5) единственно, а только, что два SFt-согласованных решения (4.5), определенных для почти всех траекторий Wt, совпадают почти наверное. В то же время уравнения (4.4), (4.5), возможно, имеют решения, зависящие от будущего. Вопрос о единственности решения уравнения (4.5) или (4.4) для почти всякой траектории Wt остается в настоящее время открытым.
Простейшим стохастическим уравнением с диффузией а, зависящей от «случая», является линейное стохастическое уравнение без сноса
і
Et=I + f IsMWV (4.6)
o
С помощью формулы Ито элементарно проверяется, что его решением является так называемая мартингальная экспонента
Е* = ехр f J asdWs - -J- J I as р ds\, (4.7)
'о о >
причем as, Ws могут быть скалярными или d-мерными, лишь бы a&Sd.
3—7927
33 С мартингальной экспонентой связана
Теорема 4.2 (И. В. Гирсанов [8]). Пусть (WttSFt) — d-мерный винеровский процесс на вероятностном пространстве (Q, SF, Р), cK:Sd, постоянная 7'(: (0, оо). Пусть
Eexp Jj asdWs-\ J |as |2cfsj = l. (4.8)
Определим на У новую (вероятностную) меру по формуле
P (rfco) = exp Jj asdWs - I С I Os I2 ofs! P (сГш).
1-0 о '
Утверждается, что тогда процесс
t
It = Wt- JajCfs
о
является d-мерным винеровским при Т] относительно на вероятностном пространстве (й, SF, Р).
Отметим, что условие (4.8) является естественным в силу связи (4.7) с (4.6) и теоремы 3.4 о тождествах Вальда. Доказательство теоремы 4.2 основано на том, что равенство (4.8) оказывается верным и в том случае, когда as заменяется на Os+iAs, где Xs — неслучайная простая функция. После такой замены элементарные преобразования показывают, что слева в (4.8) стоит математическое ожидание по мере P от
