Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
expji J Mii+ ~2 J j кг\ 2Cfsj,
откуда сразу получается характеристическая функция набора Itl, ...,\t при любых Т\, п>\.
Теорема Гирсанова 4.2 имеет огромное количество применений в теории стохастических уравнений Ито и их приложениях, например, к статистике случайных процессов диффузионного типа, к управлению такими процессами и т. д. Полезно в связи с этим указать, что условие (4.8) выполнено, например, если процесс Ot ограничен на [0, Имеется и более тонкий ре-
зультат.
Теорема 4.3. Для выполнения условия (4.8) достаточно (А. А. Новиков [19]), чтобы
і
\ і»
: ехр г, \ I as pcfs < оо ,
Зі или (Казатчаки [26]), чтобы при любом
і
E exp ~ ^ asdWs < оо.
о
Из теоремы Гирсаиова 4.2 удивительно элементарно получается следующий «слабый» вариант теоремы 4.1.
Теорема 4.4. (И. В. Гирсанов [8]). Пусть постоянная а^О, b(t,x)—борелевская функция на [0, TJX^d со значениями в Ei. Тогда существует вероятностное пространство (й, SF, Р) и винеровский d-мерный процесс на нем (Wt, SFt) такие, что уравнение (4.4) на [О, T] имеет непрерывное SFi — измеримое при всяком Т] решение. Кроме того, распределения в С ([О, Г]; Ed) любых двух решений (4.4) совпадают.
В самом деле, для доказательства существования решения достаточно взять на каком-нибудь вероятностном пространстве (й, SF, Р) d-мерный винеровский процесс (r\t, SFt), положить Ii = OTlb
и заметить, что по теореме 4.2 процесс W1 является винеровским: при /*Є[0, Т] на (?2, SF, Р) с
Второе утверждение теоремы 4.3 доказывается обращением: этих рассуждений.
Эта теорема, в отличие от теоремы 4.1, не позволяет утверждать существование решения уравнения (4.4) на данном вероятностном пространстве с данным винеровским процессом. В этом «слабость» теоремы 4.4. Однако у нее есть и большое преимущество перед теоремой 4.1, так как теорема 4.3 вместе с доказательством буквально переносится на случай, когда коэффициент Ь зависит от всего прошлого процесса \t неупреж-дающим образом.
Теорему Гирсанова 4.2 можно использовать во многих вычислениях. Найдем, например, распределение E; = max{^-|-Wt, t^ где постоянная 7^6(0, оо), Wt — одномерный винеровский процесс.
Р(й?со) = ехрК I b(s, Ib(s, h)\*ds P(dco).
O
O
3*
35 Полагав Wt = t+ W„ P (da)= exp (— Wt — і TyJ P (da), находим
P( (?> x)eWT+^re'Wr" г"rP (dcD) =
а
= \ I (max\Vt> x)eWT~^TP(da)=EeWT~i Tf (m,ax Wt > x),
а кт KT
где последнее равенство верно в силу того, что Wt— винеровский процесс при t^T относительно меры Р. Далее, аналогично (1.5) показывается, что при х>0
P(maxWt>x, WT>y)=P(WT>y) при yb[x, со),
: kt
Р(та xWt>x, Wt <y)=P(maxWt>x, WT>2x-y) =
(<Т t<T
= P (Wt > 2х - у) при УЄ( — оо, х]. Отсюда при л;>0
P {О л}= — jV~ 2 TdyP {Wr > У}+ j е~2 ЧP [WT >2Х- у} =
X —OO
? ,-'-т і je. ; „иг і = Se ! KS"'"*+ « 1 FlSfc !r
JT —оо
4. В отличие от изощренных методов доказательства теорем 4.1, 4.4, следующая классическая теорема доказывается обычным методом последовательных приближений.
Теорема 4.5 (Ито [24], [25]). Пусть (WitSTt)—fe-мерный винеровский процесс, at (х) =0( (со, х), tps0, собй, x^Ed — матричная функция размера d~Xk, bt(x)=bt(а, х)—функция со значениями в Ed- Предположим, что ot(x), bt(x) измеримы по (t, 0), х), &~t — измеримы по 0) при всяких t, х, и для некоторой постоянной К при всех t, со, х, у, i, j
\о1/(х)-оу(у)\ + \Ь\(х)-Ь) <:<\х-у\,
Тогда для всякого ?Г0 — измеримого случайного вектора Io^Ed существует непрерывный процесс \t, — измеримый при всяком t, такой, что при всех ?>0 сразу (п. н.)
/ t
It = I0 + J О,(EJ dWs + j' bs(ls) ds. (4.9)
о о
Кроме того, этот процесс единственен в том же смысле, что и в теореме 4.1.
36 Отметим еще раз, что Ито [25] рассматривал также уравнения вида (4.9), в правой части которых присутствовали интегралы по пуассоновским и по центрированным пуассоновским мерам, так что их решениями оказывались локально безгранично делимые процессы довольно общей природы.
§ 5. Стохастические дифференциальные уравнения с граничными условиями
1. До сих пор речь шла о решениях стохастических уравнений во всем пространстве или до момента первого выхода из области. Спрашивается, какие есть возможности продолжить решение стохастического уравнения после момента первого выхода из области, которые бы сохранили непрерывность его траекторий и не выводили его за пределы замыкания этой области? Этот вопрос возникает уже при рассмотрении броуновского движения в стакане. Одна из возможностей заключается в остановке навсегда процесса в момент первого выхода. При этом процесс «прилипает» к границе. Вторая возможность — это когда процесс начинает двигаться по границе, «забывая» про область, из которой он вышел. При этом он «прилипает» к границе более сложным образом. Третья возможность заключается в «отражении» от границы внутрь области. Наконец, можно еще комбинировать эти возможности в каждой точке границы с разными вероятностями. Другого ничего не может бЬіть, как показывает результат А. Д. Вентцеля [5].
