Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(OtT)XEu и(Т,х)= 0, \u(t, х) |<ехр(сл:2), где се(0,оо). Тогда as0 в [0, TIXE1.
Доказательство. Из-за возможности менять начало координат достаточно доказать, что u(s, 0)=0 при s6[0, Т). Выбирая в качестве Q прямоугольник (0, Т) X (— х, х), где л>0, по формуле (2.4) находим
и (s, 0) = Ей (S-Kx, х) I (%x<t-xA (T—s)) -f + Eu(s+i-x, —X) I (х-хСххA(T—s)). Отсюда и из (1.7) при s&[T—(4с)Т), s^0,
T-S__3
\u(s, 0)1 C^L- Г г 2е 2re"*dr< 1 " У 2л J о
T-_s
T—s з YJ _:>, ^2
< С г" 'V ^dr = 2 Г г- 2-е-47 d
12л > У 2п J
о о
так как с—l/2r^—1 /4г при гб(0, Т—s). Последнее стремится к нулю при Х-+00. Стало быть, «(s, 0)=0 при sG[T—(4с)-1, 7'), 0. Аналогично, u(s,x)= 0 при этих же s и всех х. Мы доказали, что если и=0 при s = T, то и=0 в полосе л:6?ь s&[7—(4с)'1, Т), S^0. Если в предыдущих рассуждениях взять (Т—(4с)"1) VO вместо Т, то мы получим, что и = 0 в полосе, лежащей еще ближе к началу координат. За конечное число подобных шагов мы увидим, что w = 0 в [0, 7]Х?ь что и требовалось.
Формула (2.4) имеет многомерный аналог. В самом деле, назовем d-мерным винеровским процессом с?-мерный процесс Wt= (Wt1, . . ., Wtd), если Wti—винеровский (одномерный) процесс при i=\,...,d, и процессы W1,..., Wd независимы. Оказывается, что если u(t,x), /Є[0, Т], хвЕа, является решением уравнения
щ+I Au+f = 0 (4^+...+^) (2.7)
в [0, TjX^d и и(Т, x)=g(x) на Ed, то при естественных предположениях u(t, х) совпадает с левой частью (2.3), где Wt-d — мерный винеровский процесс. Показывается это с
20 U(JC)=E
(2.9)
помощью формулы, аналогичной (2.3). Естественно, что формула (2.4) вместе с ее выводом также переносится на многомерный случай.
2. Далее, пусть 2) — ограниченная область в Ei, и — достаточно регулярное решение уравнения
j Ли+/(JC) = O (2.8)
в Sb, и непрерывна в 3) и u=g на &2t>. Тогда при х^2?>
"T(JT)
j f('X+Wt)dt + %(x + Wx(x)) . о
где х(х) ='ml{t \ x+W^SD}. Объясняется это тем, что и не зависит от t, значит, и*-Ды+/ = 0, и по формуле (2.4) при
t=T, Q=(0,2T)X&,
'TAX(X)
U(X)=E f f(x + Wt)dt + u(x+WTAX{x)) . о
Остается положить T-+ оо.
Формула (2.9) дает вероятностное представление решения уравнения Лапласа. Она столь же важна, как и формула (2.4). Покажем с ее помощью, например, что двумерный, а следовательно, также и одномерный винеровский процессы возвратны. Так как двумерный винеровский процесс обладает строго марковским свойством, то достаточно установить, что он с вероятностью 1 достигает любого круга на плоскости. Пусть тг(*) = = inf{?: \x+Wt\==r}. Нам достаточно убедиться, что Р(тг (х) <оо}= 1 при всех г > 0, х?Е2, \х\>г.
Поскольку Д In |я|=0, то при R>\x\>r по формуле (2.9), применяемой к и(х) = (In R—In |л;|) (In R—In г)~\ находим
' In^in г ! = + )) = P {тг (JC) < Vr (¦*)}•
Это при/? -a- оо дает 1 = P (тг (х) < lim xR (jc)} = P {xr(x) < оо}.
R->-<x>
С помощью формулы (2.9) можно также показать, что d — мерный винеровский процесс Wi при d > 3 невозвратен и» более того, \Wt\-+oo при t-+ оо (п. ч.).
§ 3. Интеграл Ито и правила дифференцирования сложных стохастических функций
1. Пусть Wt = Wt(O)), t^O, «6Q — стандартный (одномерный) винеровский процесс на некотором вероятностном пространстве (Q, 2Г, Р). Он достаточно хорошо описывает одномерное движение броуновской частицы при некоторой фикси-
21 рованной температуре. При другой постоянной температуре дисперсия броуновской частицы умножится на константу и для описания ее движения будет подходить процесс fWt(u)), где /=const. Если же температура жидкости меняется со временем, но кусочно-постоянна и равна на каждом интервале [tu ti+1) некоторого разбиения 0=^5??5?-.. полуоси времени [О, оо), то положение одномерной броуновской частицы в момент времени t можно представить в виде
1fi(WtAti+~WtAti). (3.1)
і
При переходе от кусочно-постоянных температур к непрерывно меняющимся выражение (3.1) превращается в стохастический интеграл
t
(3.2)
о
Выражение (3.2) нельзя понимать как интеграл Стильтьеса при каждом фиксированном со, так как W1 {со) имеет неограниченную вариацию (см. § 1.1). Винер нашел способ определить интеграл от неслучайных функций /< по Wt. Для гладких ft он положил
t t
j' fsdW=ftWt-\Wsfsds. (3.3)
о о
Получившийся линейный оператор, определенный на гладких функциях f, оказывается, обладает тем свойством (изо-метрии), что
/Jds.
С помощью этого свойства стохастический интеграл распространялся с гладких функций на все L2[0, /].
Ито [23]—[25] в 40-х годах заметил, что стохастический интеграл по Wt распространяется на широкий класс функций ft, зависящих и от «случая» со, но «неупреждающим» образом. Он не только значительно расширил класс интегрируемых функций, но и доказал непрерывность интеграла по верхнему пределу, вывел правила действий со стохастическими интегралами, знаменитую «формулу Ито», и тем самым положил начало развитию стохастического анализа. Ито рассматривал не только интегралы по Wt, но и по пуассоновским, и по центрированным пуассоновским мерам.
