Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Собственно общей теории стохастического исчисления на вероятностных пространствах с фильтрациями посвящается третья глава, дающая представление об основных элементах общей теории случайных процессов, стохастического интегрирования по семимартингалам и ряду их применений.
Идеи и методы стохастического исчисления нашли и находят свое применение в разнообразных разделах теории вероятностей и математической статистики. Это иллюстрируется, в частности, четвертой главой, в которой методы теории мартингалов и стохастического исчисления применяются к изучению вопросов слабой сходимости случайных процессов, рассматри-
8 ваемых как случайные элементы со значениями в метрических пространствах.
В заключение данного предисловия укажу, что коллектив авторов данного тома, С. В. Анулова, А. Ю. Веретенников, Н. В. Крылов, Р. Ш. Липцер и А. Н. Ширяев следующим образом принимали участие в его написании: Гл. 1 — Н. В. Крылов; Гл. 2.1. §§ 1, 3, 4; Гл. 2. II; Гл. 2. III —А. Ю. Веретенников; Гл. 2.1. §§ 2, 5, 6 —С. В. Анулова; Гл. 3 —Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев, Гл. 4. II —Р. Ш. Липцер, Гл. 4. 1-А. Н. Ширяев.
А. Н. Ширяев
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Броуновское движение и винеровский процесс
1. В 1826 году английский ботаник Броун заметил, что находящиеся в жидкости микроскопические частицы двигаются (как потом стало ясно, под влиянием ударов молекул жидкости) беспорядочным образом. Как выяснилось, характеристики этого движения, такие, например, как среднеквадратичное отклонение за единицу времени от начального положения, зависят от температуры жидкости, ее вязкости и других физических параметров. Это делало открытое Броуном явление, названное впоследствии броуновским движением, интересным с точки зрения физики. На физическом уровне строгости броуновское движение изучалось Эйнштейном, Смолуховским, Башелье. Строго математическая модель броуновского движения была впервые построена в 1923 г. Винером, в честь которого соответствующий случайный процесс также называется винеровским. Винер построил модель броуновского движения как меру в пространстве непрерывных функций, хотя понадобилось еще 10 лет для того, чтобы теория меры, благодаря аксиоматике Колмогорова, стала общепризнанной базой в теории вероятностей.
Реальное броуновское движение и его модель — винеровский процесс — трехмерны. Любая из координат трехмерного винеровского процесса называется одномерным винеровским процессом.
Математическое определение одномерного винеровского процесса дается следующим образом. Пусть (Q, W, Р)—вероятностное пространство и при tZ^O на ?2 определен гауссовский процесс Wri(Co), непрерывный по t при почти всяком со и такой, что ElFf=O, IlWtW8 = t/\s при всех /, s^0. Тогда говорят, что Wt — одномерный винеровский процесс.
9. Иногда добавляют, что Wt — стандартный процесс, когда хотят подчеркнуть, что EWtWa не только пропорционально tAs, но и равно последнему. В том случае, когда условия данного определения выполняются только при t, s6[0, Т\, где постоянная ^6(0, оо), говорят о винеровском процессе на отрезке [О, T]. В дальнейшем, если специально не оговорено противное, говоря о винеровском процессе, будем всегда иметь в виду одномерный (стандартный) винеровский процесс.
Приведенное определение винеровского процесса хорошо согласуется с физической природой броуновского движения на малом промежутке времени или в бесконечном во все стороны сосуде. В самом деле, гауссовость естественно объясняется эффектом большого числа «равнозначных» воздействий молекул на взвешенную частицу, ее среднее отклонение от начального положения естественно должно быть равно нулю. Кроме того, начальное положение частицы естественно взять за начало координат: W0 = O, а так как приращения положения частицы за непересекающиеся интервалы времени одинаковой длины естественно должны быть независимы и иметь одинаковую дисперсию из-за однородности по времени и пространству рассматриваемой жидкости, то Е| Wt—Ws |2 должно быть пропорционально \t—S I. Выбирая коэффициент пропорциональности равным 1 (например, за счет изменения масштаба времени или длины), получаем I*—s| =E I W t—W a\2=?W t2—2?WtW a+?W что при s = 0 дает EWt2=t. Отсюда 2EWtW.= EW7+EH7.2— 11—s | = ^-I-S— 11—SI =2{i/\s) при любых t, S^0.
2. Для того, чтобы убедиться в существовании винеровского процесса, удобно использовать ряды Фурье и такой весьма частый случай теорем вложения классов Бесова (см. Никольский [18, стр. 279]).
Лемма 1.1. Пусть заданы числа а<1 jp, р6[1,оо). Тогда существует постоянная с0, такая, что для любой измеримой на [О, я] функции f(t) при почти всех t, s6[0, л]
I / (0 - / (S) I < C0 I * - S f f ¦/<*>-/(*>" ¦ dxdyY. (1.1)
Теорема 1.1. Пусть г)о(ш), г)і(ш),... — независимые, нормальные случайные величины на некотором вероятностном пространстве (Q, Р) такие, что Erjfl=O, Erih2=I. Тогда для некоторой целочисленной последовательности N(&)-voo функции
- N(k)
=іЬ'v+ V-й-2 іsin nt- (l-2)
сходятся равномерно по ^6(0, я] и их (п. н. непрерывный) предел является винеровским процессом на [0, я].
