Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Это условие, называемое плотностью семейства мер (Pn) (или плотностью семейства случайных величин {?"} по «основной» мере Р) равносильно (в очень общей ситуации — это теорема Ю. В. Прохорова) тому, что семейство мер (Pn) относительно компактно, т. е. всякая подпоследовательность (Pn)S s{P"} содержит слабо сходящуюся подпоследовательность {Р"'}?={Р"}
где P' — некоторая вероятностная мера, быть может, и не принадлежащая исходному семейству {Рп}.
Для всего дальнейшего важно следующее замечание: если любая слабо сходящаяся подпоследовательность (P" } сходится к одному и тому же пределу P', то и вся последовательность (Pn) слабо сходится и именно к этому пределу P' (Доказательство—от противного).
Это замечание подсказывает общий метод доказательства импликации
(4.25)
I. Установление плотности (относительной семейства (Pn).
II. Характеризация всех слабых пределов P'.
III. Идентификация P' с Р. Наглядно все это можно изобразить так:
компактности)
П
(Fn-TT
Установление плотности сеиейшЬа{Рп)
©
Характеризация всех слабых пределов P1
©
©
(4.26)
Идентификация
(PnJO^P)
Ш
Применительно к рассматриваемому методу моментов: (I) _ Установление плотности семейства (Pn) следует сходимости т2п-+т и неравенства Чебышева (см. (4.23));
из-
172: (II) — Характеризацию всех слабых пределов P' здесь естест-
венно основывать на том, что сходимость Р"->Р' должна бы влечь за собой то, что
Это, конечно, так, если все меры Pn' и P' сосредоточены на конечном интервале \а, b\. В общем случае это, вообще говоря, конечно, не верно. Тем не менее, если это так, то поскольку наряду с (4.27) также имеем, что m%-ymk, k>\, можно будет дать такую харастеризацию слабых пределов P':
P' таково, что его моменты / xkP' (dx) совпадают с моментами mk,
Наконец, заключительный этап идентификации всех слабых пределов P' с P проводят исходя из обычно делаемого предположения, что моменты Т={гпц) однозначно определяют распределение Р. (Для однозначности достаточно, например, выполнения условия Карлемана:
Итак, если, скажем, а priori известно, что все рассматриваемые распределения сосредоточены на одном и том же конечном интервале [а, Ь], то (поскольку тогда (4.27) очевидно выполнено) характеризация и идентификация приводят к тому, что все слабые пределы P' совпадают с Р.
Таким образом, в этом случае
Как известно, у П. Л. Чепышева была лакуна в реализации метода моментов при доказательстве центральной предельной теоремы (он считал, что должны существовать все моменты, но требовал сходимость лишь для первых двух), которую затем исправил А. А. Марков.
5. Существенный следующий шаг в установлении границ применимости центральной предельной теоремы был сделан (в 1900, 1901 годах) А. М. Ляпуновым, применивший к его доказательству метод характеристических функций, восходящий к Лапласу). Сначала А. М. Ляпунов предполагал у суммируемых величин существование третьих абсолютных моментов, а затем ослабил это предположение до существования моментов порядка 2+6, 6>0.
Если TJ1 и Ti2 независимые случайные величины с функциями распределения Zr11l и Zrris, то функция распределения Zr11l и Zr11,,, их суммы есть свертка F11l HZr1l2:
w
jj ^Pn'^P1 A==I, 2,.... (4.27)
(4.28)
F Tll-I-Tll = Zrlll=I=Zr
173: т. е.
^Ti.+ri. (¦*) = $ F4l(x — y)dF^{y).
Свертка не является простым образованием и прямой анализ свертки Fn = Fni+,..+т, суммы независимых случайных величин практически не представляется возможным в сколь — нибудь общей ситуации.
Однако, характеристическая функция /" сум-
мы независимых случайных величин есть произве денае характеристических функций,
/л(0 = /гь(0.../чя(0,
что поддается проще для анализа, нежели свертка fn.
Рассмотрим, как «работает» метод характеристических функций при исследовании вопроса о слабой сходимости распределений fn случайных величин |п к распределению f случайной величины Пусть
/"(O=Eei'5" ( = 5 eitx dFn(x)=^ e"*Pn(dx)),
/ (f) = Ее*'6 (= jj eitx dF (X)=^eltxP (dx)}
— соответствующие характеристические функции. Обозначим
T" = if»(t),tbR}, T={J(t),№).
Хорошо известно, что характеристические функции / и функции распределения f, а значит и соответствующие распределения вероятностей P находятся во взаимно однозначном соответствии. Это дает в определенной степени надежду, что из сходимости характеристических функций вытекает слабая сходимость соответствующих распределений вероятностей:
T'l->T=>Pn-T-P (4.29)
Так оно на самом деле и есть, и доказывается это с привлечением промежуточных этапов ІФІІФШ («плотность»®«ха-рактеризация»Ф«идентификация») следующим образом. Поскольку имеет место оценка
а
—1, \ H-Re P(t)]dt, (4.30)
о
то из сходимости jn(t)^>~f(t), t?R, и непрерывности f(t) в нуле вытекает плотность семейства {Рп}.
Если, далее, Pra'- слабо сходящая подпоследовательность,
РЛ'->Р', то из самого определения слабой сходимости вытекает, что при каждом t?R fn'(t)-+f'(t), где /' = /'(t)—характери-
