Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема, относящаяся по современной терминологии к «центральной предельной теореме», утверждает, что если
Ф" (JC) = P (5" — I Vnpq
I e^dy'
— OO
то
Ф«(х)-и1>(х), XdE1. (4.12)
Поскольку ф(х) — непрерывная функция, то сходимость в (4.12) равномерна по х, т. е.
SupIOre(JC)-O(JC)I^O, я->оо. (4.13)
x
Муавр доказал (1721 г.) эту теорему для р= 1/2 (с кратким указанием на то, что все делается также и для рф 1/2)
168: прямым изучением вероятностей
P" = P(S„ = ?) = C* р*Г*( = р*Гь) (4.14)
с использованием для анализа факториалов некоторого предвестника «формулы Стирлинга» (1730 г.), что, впрочем, стимулировало Стерлинга к открытию формулы
п\ ~ У2ше-ппп, (4.15)
носящей теперь его имя. В окончательном изложении (в 1733 году) Муавр уже пользуется формулой Стирлинга, отмечая, что хотя она и не нужна для его вывода, однако эта формула «has spread a singular Elegancy of the solution».
72 1
Формула (4.14) для четных n, k =и р—^ имеет ВИД
p*/2 = p(s„ = |-) = cj2-".
Муавр показывает, что
(і-1)"
CT^-Ax rJLL, (4.16)
у п — 1
где константа Л|»2 j определялась им из представления
lnT^TI ~ 360 + 1260 1680 +--------(4-17)
Чу*гь позже Стирличг открывает, что
In уг2п =1 J^ -J2" ggQ - + -J26O" 1680 + •'•] и тем самым стало ясно, что константа Муавра А есть не что
2е
иное как ¦ ^_ .
У2л
Получив таким образом аппроксимацию
1
р"
/2'
V'T '
Муавр переходит захем к вероятностям вида P п и Длй <не
2 +
очень больших 1> получает, что
і'
J21J , \
Р"„ + » ---- І2/
y+' v -2
16 9 ? современных изложениях этот путь воплощается в том, что говорят, что для k = k(n), которые растут с ростом п так, что
\k — tip\ = o (tipqf 3, ¦Справедлива <-локальная теоремам
(й-пр)»
P(Sn = k)~--=L=-e , (4.18)
I' Zzxnpq '
откуда уже нетрудно перейти и к 'интегральной теореме»
Ф" (х)= P ( SnZUf < х)-> Ф(-Х), tt->oo. (4.19)
\ Vnpq j
Метод Лапласа получения асимптотической формулы для Pл/2 был основан на другой замечательной идее, в сущности, давшей начало методу характеристических функций. Идея Лапласа состояла в следующем. Поскольку (п — четно)
Tl п п
(а= + + ... + ... + ?", (4.20)
то полагая а = е~и, $ = еи получаем, что
(е-»+е»Т = егша_п+е-1&-D'a-^,)-+- ... +а0+ ...<+апеш,
(4.21)
п
где а_п = 1, а_(л_і) = СІ, . .., а0 = С2, ..., а„= 1. При отыскании «удобных» формул для Ph/2 = Cn2pnl2qnl2 основная трудность состоит в «хорошей» аппроксимации Для числа сочетаний С"/2, что в соответствии с (4.21) сводится к исследованию коэффициента а0. Интегрирование (4.21) по t сразу Дает
2гс 2л
ао = 4г$ {e-« + e"Tdt J Cos" Wf
о о
и, значит, (^p = <7= j
2л
1
Ря-—5Г ^ Cos" W/.
2 0
Иначе говоря, вопрос об асимптотическом поведении Рл/2
2я
сводится к изучению интегралов ^ cos" tdt, асимптотический ана-
0
лиз которых для Лапласа-аналитика не представлял трудностей.
3. Напомним, также, что прямыми методами Пуассона (в книге «Recherches sur Ia probabilite des judements en matiere
170: criminelle et en matiere civile», 1837) была получена (в так называемой «схеме Бернуллн») известная «пуассоновская аппроксимация» вероятностей редких событий.
Именно, пусть для каждого
Enb • • • > En п
— последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с
р (Eni = 1) =Pn, P(Eni = O) = qn( = \—pn), причем np„—0. Тогда прямой анализ вероятностей
PZ=P(Sn = A) ( = CJW-*), где Sn = Eni+ ... +Enn приводит к <пуассонозскому» приближению
Jt4 = -L^l A = O, 1,.... (4.22)
4. В 1887 году П. Л. Чебышев публикует работу «О двух теоремах относительно вероятностей», в которой он предложил новый метод, названный методом моментов, доказательства центральной предельной теоремы для сумм независимых случайных величин, принимающих уже не обязательно только два значения. (Напомним, между прочим, что двадцатью годами раньше, в 1867 году Чебышев публикует статью «О средних величинах», в которой он перешел от рассмотрения случайных событий и их вероятностей к изучению случайных величин и их математических ожиданий. Именно Чебышев впервые осознал и использовал всю силу понятия случайной величины и математического ожидания.)
Постановка задачи, рассмотренной Чебышевым, была таковой.
Пусть Fn = Fn(x)—функции распределения случайных величин En, п^ 1, и
OO
mk= xkdFn(x), А >1,
— OO
их моменты, предполагаемые существующими. Пусть
Г" = «, А > 1}
набор этих моментов.
Пусть также F = F(x)—некоторая функция распределения с набором моментов
T=,[тк, А>1}.
Если Trt-^T (в том смысле, что mn-+mk, п-+ао, А>1), то
w
стественно ожидать, что и Fn—>F.
171: Поскольку тп2->т2, то в силу неравенства Чебышева
lim Iim Р( j
С t OO п
c)<lim lim
С t OO П
E'5"
= O
(4.23)
и значит, для всякого є>0 можно найти такой компакт К,= =[—Ce, а что все меры Р", соответствующие Fn, с точностью до є «сидят» на К,:
sup P HnZKe) = sup Р" (Кг) > 1 - Є. (4.24)
