Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анулова С.В. -> "Стоханическое исчисление " -> 69

Стоханическое исчисление - Анулова С.В.

Анулова С.В., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш. Стоханическое исчисление — ВИНИТИ, 1989. — 260 c.
Скачать (прямая ссылка): ischesleniyastoh1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 93 >> Следующая


t

X(h)t = Xt-\\ (x-h(x)) d\i,

0 E1

183: где (і —мера скачков канонического процесса (или, равносильно, пусть Л'(A) = X-X (А), где X(A)i = 2 (AXi)]) и "Усть

M(h)t=X(h)t-X0-Bt(h).

(Если обартимся к (4.50), то видим, что Af(Zi) есть мартингал). Обозначим также t

c/==c, + j j h2(x)v(ds, dx)- 2 (Ja(a:)v({s}, dx)f =

0 Я1 0<i<< E1

і

= C,+ J J A2(X) V (^, dx)- 2 (A^)2-

Of1 0 <s<t

Оказывается, что вероятностная мера P на (D, SD) является мерой (канонического) процесса с независимыми приращениями Xt(a) = a(t), 0, имеющего триплет T= (В, С, v) в том и только том случае, когда (относительно этой меры Р) следующие процессы

1) M(h) = (M(h)t)t>о, 2) M2(A)-C,

3) g*ix—g*v,

являются мартингалами. Здесь 'S (определяющий) класс ограниченных борелевских функций на E1, равных нулю в окрестности нуля и таких, что если для двух мер Т] и Т] со свойством А ({0}) = п ({0)) = 0, T1 (je: IJC J > е) < оо , г)' (х:) х | > є) < оо

имеем г)(/) = 11(/) для /Є2?+, то T] = vi; этот класс не пуст и существуют семейства являющиеся, например, счетными и содержащими только непрерывные функции.

Частные случаи этой теоремы хорошо известны. Пример 1. Если X0=O, Ct — непрерывная неубывающая функция и B=0, v=0, то мартингальная проблема формулируется в виде:

1) X = (Xt)^0-мартингал,

2) X2-C = (X2t-Ct)t>о-мартингал. Соответствующая мера P (притом единственная) относительно которой (в пространстве непрерывных на [0, оо) функций) есть не что иное как винеровская мера. Это утверждение носит название «теоремы Леви».

Пример 2. Пусть X=(Xt)tsa0 — cadlag функции, являющиеся кусочно-постоянными и со скачками размера —)— 1. X0=O. Если

Bt(h)=h(\)Au C(t)= О, V(dt, dx)=dAt®z\(dx),

188: где A= (Al)t^0 неотрицательная непрерывная неубывающая функция (скажем, At=Xt, Х>0), а ei (dx)— мера Дирака, сосредоточенная в точке X= 1, то (в каноническом пространстве указанных функций), существует одна и только одна вероятностная мера, относительно которой процесс X есть процесс Пуассона с EXt=At. Это утверждение есть теорема Ш. Ватанабэ.

Пример 3. Пусть

xt=y,ik, E0=O,

k<t

— случайный процесс, порожденный суммой независимых случайных величин. Соответствующий триплет T= (В, С, v) здесь имеет следующий вид

Bt = ^iEh(Ik),

h<t

Ct = о,

k<t

В этом случае «дискретная характеристика» v полностью определяет триплет Т. Меры v({k}Xdx) ( = P(IhZdx)), определяют распределение вероятностей процесса X и при этом (в координатном представлении) однозначно.

3. Обратимся теперь к условиям, обеспечивающим сходи-S(s)

мость Xn-->Х конечномерных распределений процессов с

независимыми приращениями Xn к X (в моменты времени, принадлежащими множеству S).

Пусть Тп=(Вп, Cn, V") и T= (В, С, v) —их триплеты. Введем условия

(?-S) В" -+Bs, s?S, (T-S) Cs-^Cs, seS, (i>i — S) g*Vs-+g*vs, g^Ci

Теорема 4.5. Предположим, что процесс с независимыми приращениями X не имеет фиксированных моментов скачков (равносильно, непрерывный по вероятности). Пусть также выполнено следующее условие асимптотической пренебрегаемости скачков у допредельных процессов X":

IimSupvrz((S)X(Uj^)) = O, є > 0, teS. (4.52)

п s<t

Тогда выполнение условий (?—S), у—S), Si—S) для і= 1 или і=2 является необходимым и достаточным для слабой схо-St(S)

димости Xn—*-Х.

185: Если к тому же множество S является всюду плотным в R+, то условие (ol— S) => (4.52) и значит

(?-S), (f-S), (O1-S)=**"--**. (4.53)

Замечание 1. В (4.53) обратная импликация, вообще говоря, не верна. Вот пример.

Рассмотрим детерминированную функцию

О, в других случаях

1/п 2/п

S(S)

и Xt=O. Тогда Xrt—>Х, но условие (4.52) не выполнено.

Замечание 2. Из теоремы 5 вытекает, конечно, и теорема 2 (о сходимости безгранично делимых распределений при условиях (4.40)) и теорема 3 (о сходимости распределений суммы асимптотически пренебрегаемых независимых случайных величин к безгранично делимому). Чтобы в этом убедиться до-

[nt]

статочно положить X "=^nh, в качестве X взять однородный процесс с независимыми приращениями и характеристической функцией (4.49) и затем взять S = (I).

Хотя теорема 2 есть частный случай теоремы 3 удобно их объединить в следующем виде.

Пусть безгранично делимые случайные величины с

триплетами (Ьп, С", v") и (in»)i<»<n, n^l, — треугольная схема асимптотически пренебрегаемых независимых (при каждом п) и независимых от ri^l случайных величин. Пусть h = h(x) — непрерывная функция урезания и пусть выполнены следующие условия:

Cn Ht- 2 [EA2 (Enft) - (EA (Inft))2] С, (4,54)

Fn(g)^ eS(Ы-F(g), geCj или geC2,

где T = (b, С, F) —триплет безгранично делимой случайной величины Тогда

In- (4-55)

Для вывода этого результата из теоремы 5 достаточно определить, например, процессы





Xt^

и в качестве множества S взять множество, состоящее из одной точки S = (I).

186: Доказательство теоремы 5 проводится методом характеристических функций и основано на том факте, что характеристические функции

gn{X) = Ee"X?=&(Gn(X))t, gt(X)=EeiVct = % (G(X))t явно определяются через триплеты Tn и T, поскольку
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed