Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
S(Gn(X))t = П (1 + ДО?(А))е-до"(Л)
0< s<t
Gn(X) = IXBn-^ С? +J -iXh(x))vn(ds, dx),
О E1
а (для непрерывного по вероятности процесса X)
S (G(X))t = eatw
с
t
Gt(X) = IXBt-^ Ci +J —1 —iXh(x))v(ds, dx).
0
Используя эти явные представления, показывается (так же, как и в классической теореме 2), что условия (? — S), (f — S), (6г — S) (і ==1 или 2) обеспечивают сходимость характеристических функций соответствующих конечномерных распределений P SSk к Pj11... ,SflI Sil • • ч Sk^S-
Имея условия сходимости конечномерных распределений, S
xn-^x s — плотно в r+, естественно теперь поставить вопрос о
S
выполнимости функциональной сходимости Хп-*Х, для чего достаточно найти условия для плотности семейства распределений (Р"} процессов xn, п^ 1. Действительно, здесь опять-таки (для установления сходимости xn-^x) можно воспользоваться методом, основанным на трех этапах ІФІІФІІІ («плотность» ® «характеризация» ® «идентификация»), поскольку плотность семейства (Pn) вместе со сходимостью конечномерных распределений обеспечивают, то, что все слабые пределы P7=I^-IimP" характеризуются тем, что конечномерные распределения у P' совпадают с конечномерными распределениями у Р. Но в пространстве Скорохода а-алгебра цилиндрических множеств D ) совпадает с борелевской а-алгеброй М( D ), и меры на #„( D) полностью определяются своими конечномерными распределениями. Тем самым факт сходимости
187: конечномерных распределений идентифицирует все слабые пределы Р'-Р, а значит, w-lim Pn = P. Имеет место такой результат Теорема 4.6. Пусть выполнены условия
(sup-?) sup I #-5,1-,.0, *>0,
и (у—S), (oi—S) для некоторого всюду плотного множества S в R+. Тогда последовательность (Pn) плотна.
К вопросу установления (мартингальными методами) плотности семейства {Р"), являющихся распределениями вероятностей достаточно широкого класса процессов Xn, п^ 1 (в нижеследующем контексте — семимартингалов) мы вернемся несколько позже. Из теорем же 4.5 и 4.6 вытекает следующий ре-
S
зультат о сходимости Xn—*-Х.
Теорема 4.7. Пусть X" — процессы с независимыми приращениями, Tn-(Вп, Cn, V")—их триплеты. Пусть X — процесс с независимыми приращениями, без фиксированных моментов скачков и триплетом T= (В, С, v). Тогда условия
(sup-?) sup I В"-Bs I ->0, О О,
s<t
(f)C?->C„ t> о,
(o) g*v"->g*vf) *>0, ^C1 или C2, являются достаточными (а так!«е и необходимыми) для того, чтобы Xn^-X.
Из этой теоремы можно вывести несколько полезных следствий. Следствие 1. Пусть X" и X являются процессами без
S
фиксированных моментов скачков. Тогда Х'1~>Х в том и только том случае, когда имеет место сходимость всех конечномерных
распределений Xn-->Х, и выполнено условие (sup-?).
Следствие 2. Пусть Xn и X являются процессами со стационарными независимыми приращениями. Тогда Bt=bn°t, Ct = = cn°t, Vn (dt, dx) = dtF (dx), Bt = b°t, Ct = c°t, v(dt,dx) = = dtF (dx) и следующие условия являются эквивалентными:
a) Xn^X,
b) X^X1,
с)ЬЯ-+Ь, С" -> С, F„(g)-+F(g), geO,.
Следствие 3 (Донскер [30]). Пусть (gA)к>\ последовательность независимых одинаково распределенных случайных вели-
188: чин с Egjli = O, EStk2=!. Тогда процессы
In
П 1<?<[л<|
сходятся по распределению к винеровскому процессу.
Действительно, поскольку здесь мы имеем дело с квадратично интегрируемым случаем, то в качестве функции h=h(x) можно взять просто функцию h(x)—x. Тогда
то выполнено условие (б).
Остановимся на доказательстве теоремы 4.7.
Достаточность, как уже отмечалось выше, основана на проверке плотности и сходимости конечно-мерных распределений, которая в свою очередь опирается, в сущности, на классический результат — теорему 4.6. Сложнее дело обстоит с необходимостью. Оказывается, однако, что метод доказательства (см. [40]) необходимости условий типа теоремы 4.7 оказывается «работает» и без предположения, что процесс X не имеет фиксированных моментов скачков. Более того, «метод необходимых условий» оказывается полезным и для доказательства достаточности в общей ситуации процессов с независимыми приращениями X и Xn, 1.
Остановимся на сути «метода необходимых условий».
Ключевым результатом является следующий.
Теорема 4.8. Предположим, что У и У", п> 1, процессы
Sp
с независимыми приращениями, Yn-^-Y и для каждого t~>0 семейство случайных величин {sup j Yns |}„>i равномерно интегрируемо.
Тогда если S?n(t) = EYnt и S(t) = EYu то Sn^S в топологии Скорохода.
Основываясь на этом результате доказывается следующий общий факт.
Заметим, что для g^C, с некоторой константой с
jg(x)j<c)xj2/{|x|>a},
и поскольку
I X I2 /(I X [> a)*v» = И— E(I E1 I2/([ I11>a O1
189: 2
Теорема 4.9. Для того чтобы Xn—*-Х, где X и Xn — процессы с независимыми приращениями, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия
(SA = ?) Sk(B",B)^ О,
(S4 = -Y) Sk{C", C)^0, (4.56)
(Sft = б) Sk(g*v", g*v)~rO,
где Sh(а, ?)—расстояние, совместимое с топологией Скорохода, например, расстояние б (а, ?), введенное в § 2.
