Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Первая конструкция стохастического интеграла по винеровскому процессу от детерминированных подынтегральных функций дана в 1923 г. Н. Винером. Общее определение стохастического интеграла по винеровскому процессу принадлежит Ито [33]. Интегрирование по квадратично интегрируемым мартингалам рассматривалось Дубом [13], Мейером [50], Куррежем [23], Кунитой и Ватанабэ [42). Конструкция стохастического интеграла по локальному мартингалу дана у Жакода [38], Долеан-Дэд и Мейера [29], Мейера [50], см. также Метивье [48], Деллашери, Мейера [27], Эллиот [30], Жакод, А. Н. Ширяев [40], Р. Ш. Липцер, A. H Ширяев [20].
§ 3. Формула Ито установлена в работе [34] в случае семимартингала диффузионного типа. По поводу формулы Ито для семимартингала общего вида см. Деллашери, Мейер [27], И. И. Гихман, А. В. Скороход [4], Эллиот [30].
§ 4. Конструкция стохастического интеграла по целочисленной случайной-мартингальной мере дана Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [15], Жакодом [38], Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [20].
§ 5. Триплеты предсказуемых характеристик для локально безгранично делимых процессов введены Б. И. Григелионисом [6], [10], [11]. Систематически триплеты рассматривались Жакодом и Мемэком [39], Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [15] в связи с вопросами абсолютно непрерывной замены меры. По поводу канонического представления см. Деллашери, Мейер [27], Жакод [38], Жакод, А. Н. Ширяев [40]. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [20]; по поводу проблемы мартингалов см. Жакод, А. Н. Ширяев [40].
§ 6. См. А. Д. Вентцель [2], Кунита, Ватанабэ [42], Деллашери [24], Б. И. Григелионис [9], Р. Ш. Липцер [19], Жакод [37], Р. Щ. Липцер, А. Н. Ширяев [20].
§ 7. Сохранение семимартингального свойства при абсолютно непрерывной замене меры впервые установлено И. В. Гирсановым [3], см. также Б. И. Григелионис [5], [7], Ю. М. Кабанов, Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [151, Жакод, Мемэн [39], Жакод, А. Н. Ширяев [40], Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [20]. Сохранение семимартингального свойства при случайной замене меры изложено Деллашери, Мейером [26], Жакодом |38]. В наиболь-
136: шей общности сохранение семимартингального свойства при редукции фильтрации изложено у Стрикера [54], см. также Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [20].
III. § 1. Понятие локальной абсолютной непрерывности и локальной плотности введено в работе Ю. М. Кабанова, P. LLI. Липцера, А. Н. Ширяева [15].
§ 2. Теорема И. В. Гирсанова имеется в работе [3]. Ее обобщение принадлежит Ван Шуппену и Вонгу [55]. Преобразование предсказуемых характеристик при абсолютно непрерывной замене меры дано Б. И. Григелионисом [5], [7], [8], Ю. М. Кабановым, Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [15], Жакодом, Мемэном [39], Жакодом, А. М. Ширяевым [40], Ю. М. Липцером, А. М. Ширяевым [20].
§ 3. Интеграл Хеллингера используется при решении вопроса об абсолютной непрерывности и сингулярности; см. Какутани [41], Лизе [43], [44]. Процесс Хеллингера введен Р. Ш. Липцером, А. Н. Ширяевым [46].
§ 4. См. Жакод, А. Н. Ширяев [40], Ю. М. Кабанов. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [15], Жакод, А. Н. Ширяев [20].
ЛИТЕРАТУРА
1. Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьк. мат. об-ва,- 1917.— 15.— С. 209—274
2. Вентцель А. Д. Аддитивные функционалы от многомерного винеровского процесса // Докл. АН СССР,— 1961,— 139, № 1,— С. 13—16
3. Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и ее применения.— 1960.— ,1— С. 314—330
4. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения.— Киев: Наукова Думка, 1982.— 612 с.
5. Григелионис Б. И. Об абсолютно непрерывной замене меры и марковском свойстве случайных процессов // Лит. мат. сб.— 1969.— 9, № 1.— С. 57—71
6. — О представлении целочисленных случайных мер как стохастических интегралов по пуассоновской мере // Лит. мат. сб.— 1971.— 11, № 3.— С. 93—108
7. — Об абсолютной непрерывности мер, соответствующих случайным процессам // Лит. мат. сб.— 1971,— № 3,— С. 783—794.
8. — О структуре плотности мер, соответствующих случайным процессам // Лит. мат. сб.— 1973.— 13, № 1,— С. 71—78
9. — О представлении стохастическими интегралами мартингалов, интегрируемых с квадратом // Лит. мат. сб.— 1974.— 14, № 3.— С. 53—69
10. — Случайные точечные процессы и мартингалы // Лит. мат. сб.— 1975,— 15, № 3,— С. 101 — 114
11. — Характеризация случайных процессов // Лит. мат. сб.— 1975.— 15, № 4,— С. 53—58
12. Деллашери К. Емкости и случайные процессы.— M.: Мир, 1975.— 192 с.
13. Дуб Дж. Jl. Вероятностные процессы (перев. с англ.).— M.: ИЛ, 1956.— 605 с.
14. Кабанов Ю. M., Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Мартингальные методы в теории точечных процессов // Тр. школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 1974.).— Вильнюс, 1975. Ч. 2.— С. 269—354
15. —, -—, — Абсолютная непрерывность и сингулярность локально абсолютно непрерывных вероятностных распределений. 1; 11 // Мат, сб.— 1978.— 107 (149), № 3,— С. 364—415; 1979,— 108 (150), № 1,— С. 32—61
