Стоханическое исчисление - Анулова С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы проходит следующим образом. Сначала устанавливается (на основе теоремы 8) необходимость условий (S„-?), (Sft-Y), (Sfc-S). Затем для доказательства достаточности поступаем так.
Первым делом устанавливаем, что эти условия обеспечивают плотность семейства (X"). (К вопросам этого типа мы вернемся несколько позже). Поэтому остается доказать, что все слабые пределы P'= W-Iim P"' совпадают с распределением P процесса X. Пусть соответствующий предельный процесс X' имеет триплет Т'=(В', С', V). Тогда в силу необходимости Sk(Bn', В')-+0,
Sk(Cn', С)->0, Sjf(g*vn', g*v)^0, gee, и значит, в силу условий (4.56), В'= B, С' = С, v' = v.
4. В качестве конекретизации вышеприведенных результатов рассмотрим вопрос об условиях сходимости к непрерывному гауссовскому процессу X с триплетом (В, С, 0).
Теорема 4.10. Пусть Xn — процессы с независимыми приращениями, для которых |x|2*v("<oo и выполнено условие Линдеберга
(L) |jcp/(j.*|>e)*v^.0, S >0, <eSc/?+.
Тогда
a) Xn—> X, если и только если Bnt^St, tes, C"i-+Ct, t?S,
(с функцией h(x) = x),
в) Хп~+Х, если и только если sup Щ -Bs |->0, О,
и
Cnt-+Ct, t>0.
190 § 5. Сходимость семимартингалов к процессам с независимыми приращениями
1. Изучив вопросы сходимости конечномерных распределений S1(S) S
Xn---X и сходимости Xn-^-X для процессов с независимыми
St(S)
приращениями (и действуя при этом для сходимости Xn—-X методом характеристических функций, а для сходимости S
Xn-^-X — методрм, основанным на проверке плотности семейства {Хп} и установления сходимости конечно-мерных распределений) естественно перейти к изучению вопросов сходимости в более общей ситуации. С этой целью, сначала мы предполагаем, что «предельный» процесс X снова является процессом с независимыми приращениями, зато допредельные процессы Xn будут процессами более общей природы.
Труден и принципиален вопрос о том, сколь широк может быть запас процессов Xn с тем, чтобы для них можно было бы ввести аналог рассмотренных выше триплетов Tn и чтобы форма ответа была бы, к примеру, таковой:
«тп->т=>хп^ху>,
где «сходимость Tn—>-Г» понимается в подходящем смысле.
Сразу отметим, что анализ доказательства предшествующих теорем для процессов X с независимыми приращениями показывает, что возникновение триплета T= (В, С, v) было навеяно каноническим представлением (50):
t t
Xt = X0+Bi +Xct+\ \ h(x)d(\L-v)+\\(x-h(x))d\L. (4.57)
0 E1 0 Ei
Отметим также, что здесь процесс
t
Mi = Xt + JJ h(x)d([i — v) (4.58)
0 Ei
является мартингалом, а процесс
t
Ai = Bt + JJ (x — h (je)) d[i (4.59)
0 E1
— процессом локально ограниченной вариации и Xt=X0+ +Mt+At.
В этой связи давайте сейчас рассматривать такие случайные процессы, X, которые можно представить в виде
Xt=X0+Mt+At, (4.60)
191: где M= (Mt) t>о — произвольный процесс «мартингального» типа, а А = (At) (>0 — произвольный процесс локальной ограниченной вариации.
Развитие общей теории случайных процессов показало, что соответствующая формализация предполагает введение понятия «стохастический базис» и понятия «локального мартингала», определяемых следующим образом.
2. Аксиоматика теории вероятностей, предложенная Колмогоровым, подразумевает, что задана тройка (Й, SF, Р), где множество й трактуется как множество элементарных исходов со, Sr о-алгебра подмножеств Л^й, называемых событиями и P = = P(A), — счетно-аддитивная функция множеств такая,
что 0<Р<1 и P(Q) = 1.
Для стохастического исчисления (и для всего дальнейшего) важно, чтобы в измеримом пространстве (Й, ^r) был выделен еще поток о-подалгебр E=(SFt)t>0, где SFs<=lSFt^?F, s^Lt. Мы трактуем SFt как совокупность событий наблюдаемых до момента времени t (включительно) и набор объектов SS= (Й, SF, F = = (&~t)t>o, Р) называем стохастическим базисом (с дополнительными предположениями чисто технического характера, что семейство F непрерывно справа, т. е. ?Гг=?Гг+ = П^~5 и SF0 по-
s>i
полнены Р-нулевыми множествами из SF).
Предположение о наличии дополнительной структуры F = = (SrOoo на вероятностном пространстве (й, Sr, Р) дает возможность введения и эксплуатации новых понятий таких как, например, моменты остановки, предсказуемость, локальный мартингал и т. п.
Для нас важным сейчас является общее определение мартингала M= (Mt, SFt)t>0 как такого процесса (Mt) <Ss0, заданного на стохастическом базисе что
1) Mt—?Ггизмеримы, t^O,
2) Е(М,\0-.)=М„ set.
Говорят также, что отображение т=т(со); есть мо-
мент остановки, если оно таково, что (ш : тдля любого t^zO.
Понятия «мартингал» н «момент остановки» приводят к новому понятию «локальный мартингал» как такого случайного процесса X = (*<)/»о. что Xt-^-измеримы, t~>0, и существует последовательность (t„)n>1 марковских моментов со свойством Iimrn=OO (Р-п.н.), что при каждом п «остановленный» процесс
п
ХХп = (Xf^rn) язляйтся мартингалэм. Если Ж—класс мартингалов, a JjfI0c-класс лэкальных мартингалов, то
Л^Люс,
поскольку каждый мартингал является локальным мартингалом (надо взять т„ = п).
