Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Так же легко убедиться в том, что, например, параметры изображенной на рис. 1 механической системы всегда в известной степени зависят от состояния системы. Например, модуль упругости любого материала, или коэффициент упругости любой пружины, при достаточно больших деформациях уже не остается постоянным, т. е. зависит от координат системы. Коэффициент трения всегда (и довольно сложным образом) зависит от скорости. Момент инерции вращающегося тела также, вообще говоря, не является постоянной величиной, а зависит от угловой скорости, так как всякое физическое тело не является абсолютно твердым и испытывает деформации при вращении. Итак, величины параметров как механических, так и электрических систем всегда в большей или меньшей степени зависят от состояния системы.
Если при описании рассмотренных механической и электрической систем с помощью математических соотношений начать учитывать все эти 24
ВВЕДЕНИЕ
зависимости параметров от состояния системы, то мы пришли бы к дифференциальным уравнениям, коэффициенты которых зависят от координат и скоростей, т. е. к нелинейным дифференциальным уравнениям. Чтобы упростить задачу, мы должны- до известных пределов идеализировать свойства системы, сделать ряд упрощающих предположений относительно зависимости параметров от состояния системы, так как не всегда для ответа на поставленные в отношении данной системы вопросы необходимо учитывать эту нелинейность, которая часто значительно затрудняет теоретическое рассмотрение.
Наиболее простым и удобным было бы предположение, что параметры вообще не зависят от состояния системы и являются величинами постоянными. Тогда при математическом описании рассмотренных систем мы пришли бы к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, для которых существуют регулярные методы решения и исследование которых не представляет никаких трудностей.
При каких же условиях можно дать удовлетворительный ответ на интересующие нас вопросы о характере движения системы, если применить указанную идеализацию, т. е. считать, что параметры системы не зависят от ее состояния и являются постоянными? Как мы уже видели, вообще говоря, это предположение не оправдывается в реальных физических системах. Но во многих случаях можно выбрать такие области изменения координат и скоростей, в которых параметры системы практически (т. е. с заданной нами степенью точности) будут оставаться постоянными. Так, например, если конструкции конденсатора и катушки самоиндукции достаточно жестки и наибольшие значения, которых достигают напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в катушке самоиндукции, не слишком велики, то практически емкость конденсатора и индуктивность катушки в данной области можно считать постоянными. Точно так же, если наибольшее значение плотности тока достаточно мало, то и сопротивление обычного металлического проводника можно считать постоянным.
Аналогичным образом мы можем выбрать такую узкую область изменений координат и скоростей механической системы,чтобы параметры системы в этой области можно было с достаточной степенью точности считать постоянными. Предположение о том, что параметры системы не зависят от координат и скоростей в тех случаях, которые мы главным образом будем рассматривать, сводятся к утверждению, что все силы, возникающие в системе и являющиеся, вообще говоря, какими-то функциями координат, скоростей и ускорений, суть линейные функции либо координат, либо скоростей, либо ускорений; например, упругая сила есть линейная функция координаты (или напряжение — такая же функция заряда), а сила трения или омическое падение напряжения суть линейные функции скорости ВВЕДЕНИЕ
25
(соответственно силы тока), наконец, «сила инерции» и э. д. с. самоиндукции суть линейные функции ускорения (производной от силы тока).
Это утверждение, что в области достаточно малых изменений аргумента силы можно рассматривать как линейные функции координат, скоростей или ускорений, вытекает, в сущности, из математических соображений. Действительно, если функция вблизи данной точки может быть разложена в ряд Тейлора и если, кроме того, ее первая производная в этой точке не равна нулю, то для достаточно малых значений аргумента всегда можно ограничиться только первым членом ряда Тейлора, т. е. рассматривать функцию как линейную.
Но, конечно, Э1И соображения не даюг никакого представления о том, как велика область, в которой функцию можно рассматривать как линейную. Кроме того, в реальных физических системах возможны такие случаи, когда представление о линейных силах не дает правильного ответа на вопрос о движении системы даже в очень узкой (однако физически интересной) области изменений координат и скоростей.
Вопрос о возможности «линеаризации» реальной физической системы мы иллюстрируем на примере механической системы с трением, например массы tu, подвешенной на пружинах, но при условии, что груз либо испытывает известное сопротивление движению со стороны окружающего его газа (или жидкости), либо движется с трением вдоль поверхности какого-либо твердого тела (рис. 4). Вопрос о «линеаризации» такой системы в случае отсутствия трения не вызывает никаких трудностей, ибо при малых отклонениях упругая сила пружины, как это следует из закона Гука, пропорциональна отклонению, массу же тела в широких пределах можно считать не зависящей от скорости. В случае же наличия трения (мы знаем, что сила трения, вообще говоря, зависит от скорости) возникает вопрос, можно ли силу трения «линеаризовать», т. е. рассматривать ее как линейную функцию скорости, хотя бы в области очень небольших скоростей. Ответ на этот вопрос может дать только опыт, в частности, например, такой простейший опыт. Двигая груз, мы определяем ту работу, которую нужно затратить на преодоление силы трения при перемещении груза на известное расстояние. Далее мы повторяем это измерение снова и снова при все меньших скоростях движения груза (путь же остается неизменным). Таким образом можно установить зависимость между работой, затраченной на преодоление сил трения, и скоростью движения. Эта зависимость, вообще говоря очень сложная, получается совершенно различной для случая 26
