Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Идеализация, связанная с числом величин, определяющих состояние системы, приводит в конечном счете к представлению о том или ином числе степеней свободы системы. В настоящей книге будут рассматриваться главным образом такие задачи (т. е. такие системы и такие вопросы, касающиеся поведения этих систем), которые можно решить, пользуясь математической (динамической) моделью данной системы с одной степенью свободы.
Конечно, всякая реальная система с точки зрения классической физики обладает не одной, а весьма большим числом степеней свободы. Например, следуя обычным молекулярным представлениям, нужно было бы считать, что всякая механическая система имеет очень большое число степеней свободы, равное сумме степеней свободы всех отдельных молекул, из которых состоит система. Однако в ряде случаев можно отвлечься от молекулярного строения вещества и рассматривать систему как сплошную. В этом случае мы заменяем очень большое число степеней свободы бесконечно
самой математической модели. Первое приводит к понятию устойчивости состояний равновесия модели и процессов в ней, второе — к понятию грубости динамических систем.
Статистические модели необходимы для теоретического изучения влияния флуктуаций, шумов и т. п. на процессы в колебательных системах. При учете случайных процессов движение системы будет подчиняться уже не динамическим законам, а законам статистики. В соответствии с этим могут быть поставлены вопросы о вероятности того или иного движения, о наиболее вероятных движениях и о других вероятностных характеристиках поведения системы. Математический аппарат для изучения статистических процессов в колебательных системах составляют так называемые уравнения Эйнштейна — Фоккера [106, 75, 83]. 20
ВВЕДЕНИЕ
большим числом степеней свободы и приходим к уравнениям в частных производных. В других случаях оказывается, что для описания интересующих нас вопросов достаточно ввести в рассмотрение всего лишь одну или несколько степеней свободы. Мы приходим, с одной стороны, к представлениям о сплошной системе, обладающей бесконечно большим числом степеней свободы, а с другой стороны — к представлениям о дискретных системах, обладающих конечным числом степеней свободы.
Понятие числа- степеней свободы пришло в теорию колебаний из механики, где, как известно, под числом степеней свободы понимают число координат, полностью определяющих пространственную конфигурацию механической системы (при тех или иных упрощающих предположениях). При этом порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих ее движение, как правило, вдвое больше числа степеней свободы. В теории колебаний, рассматривающей не только механические системы, под числом степеней свободы понимают половину числа переменных, задание которых в данный момент времени полностью и однозначно определяет состояние системы, или, иначе говоря, половину порядка системы дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы (при данных упрощающих предположениях).
Рассматривая определенный -класс систем и ограничиваясь определенным кругом вопросов, можно пользоваться представлением о системе с одной степенью свободы. Например, массу т на пружине (рис. 1) мы только в том случае сможем рассматривать как систему с одной степенью свободы, если откажемся от учета влияния массы пружины (что имеет смысл только в том случае, если масса пружины гораздо меньше массы т) и будем считать тело т абсолютно жестким (что имеет смысл, если тело т гораздо более жестко, чем пружина). Кроме того, конечно, мы должны ограничить рассмотрение движением этого тела только в вертикальном направлении. Это последнее ограничение имеет смысл только при условии, что колебания массы tn в вертикальном направлении не вызывают раскачивания ее как маятника —¦ раскачивания, которое неизбежно появляется при известных соотношениях между параметрами системы. Наши допущения в реальной системе, конечно, не могут быть строго соблюдены. В действительности пружина обладает массой, а тело tn обладает упругостью, но мы идеализируем задачу и отказываемся от рассмотрения тела и пружины как сплошных систем (систем с распределенными параметрами). Вследствие этой идеализации мы лишаемся возможности ответить на вопросы о движении отдельных частиц тела т и пружины; но если, с одной стороны, тело т достаточно жестко ВВЕДЕНИЕ
21
и масса его достаточно велика по сравнению с массой пружины, а с другой стороны, начальные условия совместимы с нашими допущениями, а именно: в начальный момент сама масса tn отклонена от положения равновесия в вертикальном направлении или ей сообщена некоторая начальная скорость тоже только в вертикальном направлении, то при допущенной идеализации задачи все же можно удовлетворительно ответить на вопрос о движении всей массы т в целом. И в том случае, когда нас интересует вопрос о движении системы при таких ее свойствах и таких начальных условиях, было бы просто нецелесообразно учитывать какие-либо другие свойства системы, кроме наличия массы т и упругости пружины. Но несколько иную задачу, отличающуюся от только что рассмотренной лишь характером начальных условий, мы уже не в состоянии будем решить, применяя прежнюю идеализацию. Пусть, например, сначала пружина растянута силой, приложенной в точке b (рис. 1), а в момент ^ = O эта сила устраняется. Такое начальное состояние несовместимо с принятой нами идеализацией, которая позволила рассматривать всю систему как обладающую одной степенью свободы. Мы могли бы, конечно, задать не силу в точке Ь, а любое начальное распределение деформаций в пружине, отличное от того, которое получается, если сила приложена к массе т. Всякое такое распределение было бы несовместимо с нашей идеализацией. Оставаясь при прежней идеализации и не делая каких-либо новых допущений, мы не в состоянии ответить на вопрос о характере движения системы при таких начальных условиях.
