Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Целесообразность этого специального термина выяснится в дальнейшем, когда нам придется рассматривать другие системы, <нетомсоновские>, в которых сопротивление играет преобладающую роль.
о ¦
о
Рис. 10. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА БЕЗ ТРЕНИЯ
37
Напомним теперь характерные свойства движений гармонического осциллятора. Общее решение дифференциального уравнения (1.1), как известно, имеет вид
X = A cos W0^ -j- В sin CO0^, (1.4)
где А и В — постоянные интегрирования, определяемые начальными УСЛОВИЯМИ. ЕСЛИ ДЛЯ ^ = O JC = JC0, JC = -V0, то
JC = JC0 COS CU0^ -j— — sin W0^', X= — Jf0CU0 sin CU0^ -j— JC0 COS (I)0^. (1.5)
Это же решение может быть также записано в виде
JC = К cos (u)0^ -j- a); JC = — /Cco0 sin (со0^ -j- а), (1.6)
где
Ф
cos ос
К
ч 4
Sin а:
в
X0 Ki0AT0
_ AA ¦ «о КГ
(1.7)
Рис. П.
Мы видим, что зависимость смещения или заряда от времени (осциллограмму колебаний) можно изобразить в виде хорошо известной «синусоиды» (рис. 11). Для характеристики такого «синусоидального» или гармонического колебания нужно задать три величины: К — максимальное отклонение, или амплитуду колебаний, W0 — число колебаний в 2ir секунд, или угловую частоту, и а — так называемую начальную фазу колебаний, которая играет очень существенную роль, когда мы имеем дело сразу с несколькими процессами. Действительно, так как выбор фазы колебания вполне определяет начальный момент отсчета времени, то ее нельзя выбирать произвольно, если начальный момент отсчета времени уже задан каким-либо другим процессом. Но фаза колебаний не играет какой-либо физической роли, когда мы имеем дело только с одним «изолированным» процессом. Итак, гармонический осциллятор совершает периодические синусоидальные (гармонические) движения (отсюда его название). Колебательное движение не возникает лишь в случае JC0 = 0 и JC0 = 0, т. е. когда осциллятор в начальный момент находится в состоянии равновесия; в этом случае он продолжает и дальше в нем оставаться. Амплитуда и фаза гармонического колебательного движения определяются начальными условиями. Угловая част эта, а значит, и период процесса не зависят от начальных условий и определяются параметрами колебательной системы. 38
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл. I
Формулы (1.5) или (1.6) и (1.7) дают точный количественный ответ на вопрос, как происходят движения в системе, определяемой уравнением (1.1). Они позволяют определять «будущее из настоящего», т. е. позволяют вычислять значения JC и JC для каждого момента времени t, если они известны для момента времени і = 0.
§ 2. Понятие о фазовой плоскости. Представление совокупности движений гармонического осциллятора на фазовой плоскости
1. Фазовая плоскость. Положим х=у и будем изучать движение гармонического осциллятора, изображая это движение на плоскості je, у, где JC и у — прямоугольные декартовы координаты. Каждому состоянию нашей системы, каждой паре значений координаты jc и скорости у соответствует точка на плоскости jc, у. Обратно, каждой точке на плоскости jc, у соответствует одно и только одно состояние системы. Плоскость jc, у носит название плоскости состояний или, иначе, фазовой плоскости, она изображает совокупность всех возможных состояний нашей системы. Каждому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки фазовой плоскости. Таким образом, изменению состояний системы можно соподчинить движение некоторой точки на фазовой плоскости, которая носит название «изображающей» или «представляющей» точки. Траектория такой изображающей точки называется фазовой траекторией; ее не следует смешивать с действительной траекторией движения. Скорость такой изображающей точки называется фазовой скоростью; опять-таки ее не следует смешивать с действительной скоростью. Целой фазовой траекторией мы будем называть ту кривую, которую описывает изображающая точка за все время своего движения (от t = —ос до t=h oo)1).
Зная решение дифференциального уравнения гармонического осциллятора (1.1), нетрудно найти уравнение траектории на фазовой плоскости. Именно, уравнения
jc = К cos (<о/ -(- а); у = — am0 sin (<о0/ -(- а) (1.6)
') Метод отображения состояния системы с п степенями свободы заданием одной точки в пространстве 2п измерений уже давно применяется в физике. Это 2я-мерное пространство состояний (фаз) системы получило название фазового пространства. Отсюда термины «фазовое пространство» и, в частности, «фазовая плоскость» перешли в теорию колебаний.
Для целей изучения динамики колебательных систем фазовое пространство было впервые применено Леотэ [172], который исследовал работу некоторого устройства автоматического регулирования путем построения в фазовом пространстве этого устройства интегральных кривых и предельных циклов (не давая им этого названия; он, по-видимому, не был знаком с опубликованной несколько раньше работой Пуанкаре [108], в которой предельные циклы впервые появились в математике). К сожалению, замечательные работы Леотэ были впоследствии почти полностью забыты. ПОНЯТИЕ О ФАЗОВОЙ плоскости
