Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Однако для нахождения этих величин, например спектрального состава, теория колебаний часто должна в качестве промежуточной ступени определять численные значения функций для тех или иных частных значений независимого переменного. Обычные приближенные методы количественного интегрирования (например, метод изоклин, метод Рунге — Кутта), которые могут быть использованы для получения ответов на такие вопросы, само собой разумеется, также оперируют непосредственно с дифференциальным уравнением. Знание качественной картины для данного дифференциального уравнения позволяет с большей эффективностью и надежностью применять количественные приближенные методы, разумно их комбинировать и т. д.
В дальнейшем мы должны будем познакомить читателя с тем математическим аппаратом, который необходим для исследования функций, определяемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Поскольку мы здесь ограничимся рассмотрением систем с одной степенью свободы, это будут функции, определяемые одним дифференциальным уравнением не выше второго порядка или не более чем двумя дифференциальными уравнениями первого порядка.
Чтобы облегчить усвоение этого математического аппарата, мы начнем с изложения хорошо известных' обычных линейных задач на том языке и частично с помощью тех приемов, которые потом в развернутом виде будут нами использованы при решении несравненно более сложных нелинейных задач. ГЛАВА 1 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Линейная система без трения (гармонический осциллятор)
Мы начнем наше рассмотрение с простейшей автономной колебательной системы, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида
X -j- шо-х — 0 (1.1)
и которую в физике называют гармоническим осциллятором.
Примером такой системы является (при соответствующих предположениях), например, тело массы tn, которое может совершать горизонтальные движения вдоль стержня под действием двух пружин (рис. 9). Чтобы рассмотрение этой системы привело к интересующему нас случаю, сделаем следующие упрощающие предположения1). Предположим, во-первых, что силы, с которыми действуют пружины на тело, пропорциональны его смещению X относительно положения равновесия. В действительности это с некоторой степенью точности выполняется только при достаточно малых смещениях (только при малых деформациях пружина подчиняется закону Гука). Во-вторых, мы будем предполагать, что система при движении не испытывает трения (нет трения ни о воздух, ни о поддерживающий стержень, пружины не обладают внутренним трением). Это второе предположение об отсутствии трения в системе, конечно, еще с меньшей степенью точности выполняется в реальных физических системах. При сделанных предположениях
') Мы не упоминаем и не будем упоминать более о других упрощающих предположениях, о которых шла речь во Введении.
2« 36
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I
движение такой системы отображается линейным дифференциальным уравнением второго порядка
mx-^-kx = 0, (1.2)
где k — положительный коэффициент, зависящий от упругости пружин. k 2
Полагая — = <o0, получим уравнение гармонического осциллятора (1.1).
Примером электрической системы этого типа может служить колебательный контур, состоящий из емкости С и самоиндукции L (рис. 10); такие контуры мы будем для краткости называть «томсо-новскими»'). Чтобы прийти к случаю линейной системы без трения, мы должны, конечно, идеа- лизировать свойства этого контура. Прежде всего ?jo шштшС надо предположить, что в контуре не происходит
о потерь энергии, т. е. что соответствующие провод-
(_ ники не обладают сопротивлением, что в диэлект-
рис JQ рике энергия также не рассеивается и, наконец,
что отсутствует излучение электромагнитной энергии. Эти предположения никогда не осуществляются с достаточной точностью в реальных системах, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что во всяком контуре всегда происходит более или менее сильное, но во всяком случае заметное (если подождать достаточно долго) затухание колебаний. Идеализируя колебательный контур как систему без потерь энергии, мы уже не можем передать одну из наиболее типичных черт всякой реальной системы — затухание собственных колебаний; и в этом смысле предположение об отсутствии потерь энергии является гораздо более далеко идущей идеализацией, чем предположение о линейности контура, которое в реальных системах довольно хорошо соблюдается. Однако такая идеализация позволяет все же достаточно удовлетворительно ответить на некоторые Основные вопросы теории колебаний, например на вопросы о частоте и форме собственных колебаний (конечно, только в тех случаях, когда затухание колебаний достаточно мало). Кроме того, надо считать, что емкость С конденсатора не зависит от его заряда, а индуктивность L катушки—от силы тока, протекающего через нее. При сделанных предположениях электрическая система также подчиняется уравнению вида (1.1); именно, если обозначить заряд конденсатора через q, то получим:
Lq + ^= 0. (1.3)
1 2
Обозначая j^ — Щ> снова приходим к уравнению гармонического осциллятора (1.1).
