Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Этот пример иллюстрирует высказанное выше общее положение. Мы видим, что допустимая идеализация в отношении числа величин, определяющих состояние системы (в частности, числа степеней свободы системы), зависит не только от свойств самой системы, но и от характера тех начальных условий, которые заданы, и содержания тех вопросов, на которые нужно ответить, — словом, зависит от характера той задачи, которая нами поставлена.
Точно так же обычный электрический контур, обладающий емкостью, индуктивностью и сопротивлением (рис. 2), можно рассматривать как систему с одной степенью свободы только при том условии, что не учитываются, например, емкости, которыми обладают отдельные витки катушки самоиндукции один по отношению к другому, провода между собой и т. д. Но несмотря на эту идеализацию, мы сможем достаточно точно ответить на основной интересующий нас вопрос о законе изменений напряжения на обкладках конденсатора, Рис. 2. если начальные условия таковы, что заданы
напряжение на обкладках конденсатора и ток по всей катушке самоиндукции. Однако допущенная нами идеализация не дает возможности 22
ВВЕДЕНИЕ
ответить, например, на вопрос о законе распределения тока внутри самой катушки самоиндукции. При допущенной идеализации и не делая специальных предположений, мы не сможем решить и вопрос об изменении силы тока в начале процесса, если в начальный момент ток существует не во всей катушке, а только в части ее, присоединенной к источнику постоянного тока (рис. 3), ибо эти начальные условия, так же как и в рассмотренном нами механическом примере, не совместимы с примененной идеализацией задачи. (Именно такого
типа начальные условия имели место, t_M/www— например, в случае волномера, возбуждаемого зуммером, — батарея Б и зуммер 3 обычно присоединялись к волномеру так, как это указано на рис. 3.) И в этом случае мы могли бы, квк и в предыдущем, задать начальное распределение силы тока в катушке не в виде двух условий для двух частей катушки, Рис. 3. а в более общем виде некоторой функ-
ции распределения i=f(x). Однако никакое иное распределение, кроме некоторой определенной силы тока, одинаковой во всех витках катушки, конечно, не совместимо с нашей идеализацией системы. Такие произвольные начальные условия требуют, вообще говоря, рассмотрения системы с бесконечным числом степеней свободы, т. е. рассмотрения распределенной системы.
Мы видим, таким образом, что, отказываясь от рассмотрения реальных систем как систем распределенных и рассматривая их в виде систем с конечным числом степеней свободы, в частности в нашем случае в виде систем с одной степенью свободы, мы должны соответствующим образом ограничить себя в смысле выбора начальных условий и задавать только такие начальные состояния, которые совместимы с нашей идеализацией. В противном случае возникает конфликт между начальными условиями и уравнениями нашей идеализированной системы, для ликвидации которого, вообще говоря, нужно было бы изменить характер идеализации системы. Однако в некоторых случаях, как будет видно в дальнейшем, конфликт этот может быть ликвидирован без изменения характера идеализации системы— при помощи некоторых добавочных постулатов, определяющих то совместимое с уравнениями модели состояние, в которое придет система через некоторое время после возникновения конфликта.
Точно так же не только от свойств самой системы, но и от характера задачи, которая поставлена, зависит решение вопроса о допустимости той или иной идеализации, связанной с определением законов, управляющих движением системы. Именно эта идеализация определяет тип уравнений, которыми описывается система, и приво- ВВЕДЕНИЕ
23
дит к разделению систем на «линейные» и «нелинейные», «консервативные» и «неконсервативные», «автоколебательные» и «диссипатив-ные» и т. д.
Как же следует подходить к вопросу о законах, определяющих движение системы, определяющих изменение состояния системы по заданному состоянию этой системы (модели) в данный момент времени? В каких случаях, какая идеализация свойств реальной системы и связей между ее частями и элементами может быть допущена? Вообще говоря, параметры всякой электрической или механической системы — емкость или упругость, сопротивление или коэффициент трения, самоиндукция или масса — всегда в большей или меньшей степени зависят от состояния системы, т. е. от ее координат и скоростей. Действительно, если конденсатор заряжен до какого-либо напряжения, то между его обкладками существуют силы электростатического притяжения. Так как абсолютно жестких систем не существует, то эти силы вызовут какое-то изменение формы или размеров обкладок конденсатора, вследствие чего изменится и его емкость; эти изменения будут тем больше, чем больше напряжение между обкладками конденсатора. Поэтому емкость конденсатора всегда в большей или меньшей степени будет зависеть от напряжения между его обкладками.
Точно так же между витками катушки самоиндукции, по которым течет ток, будут существовать пондеромоторные силы, которые несколько изменят конфигурацию витков катушки, а вместе с тем и ее индуктивность. Следовательно, индуктивность катушки неизбежно в большей или меньшей степени зависит от силы тока, протекающего по катушке. Наконец, сопротивление проводника всегда в большей или меньшей степени зависит от температуры; гак как при протекании тока по проводнику выделяется тепло, нагревающее сопротивление, то величина этого сопротивления всегда до некоторой степени зависит от силы протекающего по нему тока.
