Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ВВЕДЕНИЕ
движения тела в газе или жидкости или трения тела о какую-либо твердую поверхность.
В первом случае работа существенно зависит от скорости и при уменьшении скорости уменьшается и может быть сделана как угодно малой. Во втором же случае «сухого трения», наоборот, работа мало зависит от скорости, и как бы медленно мы ни двигали груз, нужно затратить на его перемещение некоторую конечную и вполне определенную работу;значит, сила трения даже при сколь угодно малой скорости имеет конечную величину. Кроме того, необходимо иметь в виду, что сила трения всегда направлена в сторону, противоположную скорости, и значит, при переходе скорости через нуль сила трения должна менять знак на обратный. Принимая во внимание это обстоятельство, а также результат наших опытов, мы можем установить хотя бы качественно связь между силой трения и скоростью в области малых скоростей. Очевидно, что в первом случае при «жидком трении» сила трения без скачка проходит через нуль
Сала тренм Cum
Спрости
Г С/горости
Рис. 5. Рис. 6.
и меняет при этом знак (рис. 5). Во втором же случае при скорости, стремящейся к нулю, сила трения с двух сторон стремится, вообще говоря, к разным (в частности, например, противоположным по знаку, но одинаковым по абсолютной величине) конечным пределам и, значит, при нуле претерпевает разрыв (рис. 6)'). Очевидно, что в случае «жидкого трения» всегда можно в некотором, хотя бы небольшом, участке по обе стороны от нуля считать силу трения линейной функцией скорости, т. е. можно «линеаризовать» трение и рассматривать систему как линейную. В случае же «сухого трения» такая линеаризация даже в области очень малых скоростей не передает наиболее типичных особенностей сухого трения. Поскольку при переходе скорости через нуль сила трения изменяется скачком, мы не можем, конечно, передать эту особенность силы трения, считая ее линейной функцией скорости. И поэтому при рассмотрении тех задач, в которых сухое трение играет существенную роль, мы не
') О зависимости силы треиия от скорости в области не очень малых скоростей нам еще придется говорить в дальнейшем. Пока же мы можем ограничиться областью только очень малых скоростей, ВВЕДЕНИЕ
27
Скорость
можем рассматривать систему как линейную, даже если ограничим рассмотрение весьма малыми значениями скоростей.
Простейшая идеализация, которая может быть сделана в случае сухого трения, т. е. в случае зависимости, изображенной на рис. 6, — это предположение, сделанное Кулоном, именно, что трение по величине не зависит от скорости. Так же как линейный закон трения является простейшей идеализацией случаев жидкого трения, закон Кулона является простейшей идеализацией случаев сухого трения. Эта идеализированная характерне- Сило трения
тика трения приведена на рис. 7.
Мы видим, таким образом, что не всегда можно даже в некоторой ограниченной области рассматривать систему как линейную. Однако во многих случаях это оказывается возможным. Тогда в этой огра-ниченной области, несмотря на допущенную идеализацию (предположение, что все параметры системы постоянны), можно ответить на интересующие нас вопросы о характере и общих свойствах движения системы. Гра- рис. 7.
ницы этой области определяются характером
существующих в реальных физических системах зависимостей параметров от коордииат и скоростей и характером той задачи, которая поставлена; однако эта область, в которой применима наша идеализация, всегда ограничена известными пределами.
Но если эта область ограничена, то неизбежно возникает следующий весьма важный вопрос: не уйдет ли система «сама по себе» в силу своих свойств за пределы той области, в которой применима наша идеализация? Если этого не случится, если при начальных условиях, лежащих в пределах той области, в которой параметры системы можно считать постоянными, система и при всех дальнейших движениях не выйдет за пределы этой области, то наша идеализированная задача позволит дать ответ на ряд вопросов, которые могут возникнуть при изучении данной системы. Для ответа на такие вопросы мы можем считать параметры системы не зависящими от состояния системы и описывать ее линейными дифференциальными уравнениями, т. е. рассматривать систему как «линейную».
Тогда же, когда система в силу своих свойств выходит за пределы «линейной области», совершенно очевидно могут возникнуть вопросы, на которые мы не в состоянии будем дать ответа, рассматривая систему как линейную. И в вопросе о законах, связывающих свойства параметров с состояниями системы, допустимость той или иной идеализации зависит не только от свойств системы, но и от характера поставленной задачи, и в частности от характера начальных условий задачи. 28
ВВЕДЕНИЕ
Существует очень большое число весьма интересных и практически важных вопросов, для ответа на которые необходимо рассмотреть поведение системы за пределами линейной области. Ряд таких вопросов выдвигается, например, современной радиотехникой. Как мы увидим дальше, даже теория простейшего лампового генератора принципиально не может быть сведена к исследованию линейного дифференциального уравнения и требует изучения нелинейного уравнения; линейное уравнение, например, не в состоянии объяснить тот факт, что ламповый генератор независимо от начальных условий имеет стремление устанавливаться в определенном режиме. Аналогичные вопросы возникают в электротехнике, акустике и т. д.
