Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку идеализация задачи всегда неизбежна, прежде всего возникает вопрос о том, как далеко мы можем идти в этом направлении, до какой степени можно идеализировать свойства системы и все же получить удовлетворительные результаты. Ответ на этот вопрос может дать в конечном счете только опыт. Только сопоставляя те ответы, которые дает на тот или иной вопрос наше идеализированное рассмотрение, с результатами опыта, мы можем судить, законна ли та или иная идеализация.
Это заключение, конечно, справедливо лишь в том случае, когда теоретическое рассмотрение нашей идеализированной схемы (математической модели) проведено вполне строго'). Только в этом случае можно считать расхождение теории и опыта бесспорным доказательством недостаточности исходной идеализации и необходимости учесть какие-то новые свойства системы для объяснения наблюдаемых явлений;
') Заметим, что термин «строгая теория» отнюдь не означает, что эта теория дает точные количественные ответы на поставленные вопросы. Строгая теория может давать приближенные количественные ответы (например, может оценить амплитуду колебательного процесса при помощи неравенств) и может делать качественные высказывания (например, о существовании периодических движений). 16
ВВЕДЕНИЕ
Заметим, что указания о допустимости той или иной идеализации могут быть получены не только из сравнения результатов теоретического рассмотрения с данными опыта, но и из сопоставления результатов двух различных теорий, одна из которых развита с использованием данной идеализации, а другая — без этой идеализации. Поскольку первая теория развита после пренебрежения известными обстоятельствами, а вторая, наоборот, с учетом тех же самых обстоятельств, то, сопоставляя результаты обеих теорий, мы получаем непосредственные указания о том, какую роль играют эти обстоятельства для решения того или иного вопроса. Постепенно мы накапливаем опыт и развиваем свою интуицию в этом отношении и научаемся все лучше и лучше «угадывать», что важно и что не важно для решения рассматриваемого круга вопросов. Убедившись тем или иным путем в том, что для решения данного вопроса известное обстоятельство играет второстепенную роль, мы в дальнейшем распространяем полученный результат и на другие аналогичные задачи, сначала пренебрегая этими обстоятельствами, а затем проверяя законность этих пренебрежений на опыте.
Характер идеализаций, допустимых при рассмотрении той или иной задачи, определяется всей задачей в целом и зависит поэтому не только от свойств рассматриваемой системы, но и от того, на какие именно вопросы желательно получить ответ при рассмотрении задачи.
Так, например, рассмотрим систему, состоящую из стального шарика, падающего вертикально на горизонтальную стальную доску. Если нас интересует движение шарика как целого, то мы, вообще говоря, не совершим большой ошибки, если будем считать при теоретическом рассмотрении, что шарик —это двигающаяся под действием силы тяжести материальная точка, скорость которой при достижении доски мгновенно меняет свой знак. Если же нас интересуют те упругие напряжения, которые возникают в шарике при ударе, то само собой разумеется, что мы уже не можем рассматривать шарик как материальную точку; шарик приходится идеализировать как упругое тело с определенными константами, характеризующими свойства стали, приходится учитывать характер деформаций, время соударения и т. д. Подобный же пример можно было бы привести и из теории электрических систем, где могут быть случаи, когда для ответа на одни вопросы можно считать емкость и самоиндукцию сосредоточенными, а для ответа на другие вопросы (относящиеся к той же системе) — распределенными.
Аналогично, если нас интересует вопрос о движении (свободных колебаниях) маятника в течение некоторого небольшого промежутка времени и если трение, испытываемое маятником, невелико, то можно отказаться от учета сил трения. Однако эта же идеализация не позволит получить правильный ответ на вопрос о движении маятника в течение большого промежутка времени, так как движе- ВВЕДЕНИЕ
17
ниє маятника затухает. Точно так же при рассмотрении вопроса о вынужденных колебаниях маятника под действием гармонической внешней силы можно не учитывать трение в системе, если нас интересует область, далекая от резонанса. Вблизи резонанса та же идеализация (пренебрежение трением) лишит нас возможности получить правильный ответ на вопрос об амплитуде вынужденных (установившихся) колебаний, так как при резонансе эта амплитуда существенно зависит от величины трения.
Таким образом, одна и та же идеализация может быть и «допустимой» и «недопустимой», вернее либо целесообразной, либо нецелесообразной, в зависимости от того, на какие вопросы мы хотим получить ответ. Одна и та же идеализация свойств данной реальной системы (одна и та же математическая модель, описываемая некоторой системой уравнений) позволяет получить правильный ответ на некоторые вопросы, касающиеся поведения системы, но не дает, вообще говоря, возможности правильно ответить на другие вопросы, касающиеся поведения той же самой системы. Это связано с тем, что при построении данной математической модели реальной физической системы пренебрегалось многими свойствами и особенностями последней, которые, не являясь существенными для тех или иных процессов в системе, могут быть существенными, определяющими для других.
