Задачи вступительных экзаменов по физике - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Наряду с силами упругих деформаций пружин, на бусинку при ее смещении от положения равновесия будут действовать электрические силы со стороны заряженного кольца. Условия задач. Электричество и магнетизм
55
Чтобы определить величину и направление этих сил, рассмотрим часть дуги кольца, ограниченную центральным углом Дф, показанным на рисунке. При достаточно малой величине угла Дф размерами указанного участка дуги кольца можно пренебречь. Учитывая, что заряд этого участка, согласно сказанному выше, должен быть равен AQ = Q Дф/(2 л), можно утверждать, что напряженность поля ДЕ, создаваемого этим зарядом в точке, находящейся на оси на расстоянии х от центра кольца, будет направлена так, как показано на рисунке (считая, конечно, заряд кольца положительным), а ее величина должна быть равна
ДЕ =---—
8 л є0 (R2 + x2) '
где E0 - электрическая постоянная. Диаметрально противоположный участок кольца таких же размеров в рассматриваемой точке создает поле с напряженностью AE1, составляющая которой, перпендикулярная оси ОХ, имеет ту же величину, но направлена противоположно аналогичной компоненте поля ДЕ. Поэтому на основании принципа суперпозиции можно утверждать, что напряженность поля, создаваемого всем кольцом, направлена вдоль оси OX и равна
_ Q cos а _ Qx
" 4tte0(R2 +x2) ~ 4лe0v(r2 +x2)3 '
Отсюда, пренебрегая размерами бусинки, получаем, что электрическая сила, действующая на нее, в соответствии с определением напряженности электрического поля равна F3 = qE и направлена вдоль оси к плоскости кольца, т.к. знаки зарядов кольца и бусинки противоположны.
AE.
х\Х
AE 56
Задачи вступуте.г.оных экзаменов по физике. Вып.7
Будем, как это обычно и делается, считать лабораторную систему отсчета, относительно которой кольцо неподвижно, инер-циальной и пренебрегать силами трения, действующими на движущиеся части. Тогда, пренебрегая в соответствии с условием массой пружин, на основании II закона Ньютона уравнение движения бусинки в проекции на ось OX можно представить в виде
mx
= _
гт -lo
2k +
4 7ГЄ,
Vcr
2 +X2)3
где X - проекция ускорения бусинки на ось ОХ. Поскольку требуется определить период малых колебаний, то следует считать, что амплитуда колебаний бусинки много меньше радиуса кольца, а потому всегда должно соблюдаться неравенство |х| « R, и уравнение движения можно представить в виде
mx =
2k +-
4 TTEq Rd
X .
Из полученного уравнения видно, что ускорение бусинки прямо пропорционально ее смещению от положения равновесия и направлено к этому положению. Следовательно, после малого отклонения от положения равновесия бусинка будет совершать гармонические колебания. Вспоминая, что при прямолинейных гармонических колебаниях квадрат угловой частоты со равен модулю отношения ускорения колеблющегося тела к его смещению от положения равновесия в тот же момент времени, а период колебаний обратно пропорционален угловой частоте, получим, что искомый период малых колебаний равен
„2к„ m
T =-= 2к --—
со V 2k + q Q/(4 Jt є0 R )
III.2. Согласно закону Кулона величина силы, действующей на заряд q со стороны заряда Q в обоих случаях равна
F - qQi І 1V -1-TT '
4 Tte0 L^ Условия задач. Электричество и магнетизм
57
где і — единичный вектор, направленный от заряда Q1 к заряду q, a Ej - электрическая постоянная. В первом случае, когда заряд q располагается между зарядами Q1 и Q2, со стороны заряда Q2 на него действует сила
qQ2 .
Fq21 — 2
4 7Г Є0 L
а во втором -
qQ2
^q22 ~ 4 л є0 9 L2
Если искомое отношение зарядов обозначить к и учесть, что отношение величин сил, действующих на заряд q в первом и втором случаях, равно п, то из написанных ранее выражений следует, что
IQ2-Q1I Il-к| - - 1 1 = 9-1 1
Q!+Q2/9 1 + 9 к '
причем к > 0 поскольку заряды Q1 и Q2 положительные.
При k < 1 из последнего соотношения вытекает, что k = (1 - n/9)/(n + 1). Отсюда, в свою очередь, поскольку к > 0 , следует, что допустимые значения п должны удовлетворять требованию: 0 < п < 9 . Если же к > 1, то к = (1 + n/9)/(l - n), т.е. для п допустимы значения, удовлетворяющие неравенствам: 0 < п < 1. Наконец, при значениях п > 9 задача не имеет решения.
Итак, при 0 < n < 1 искомое отношение k = Q1ZQ2 может быть равно либо (1 + n/9)/(l - n), либо (1 - n/9)/(n + 1); при О < п < 9 искомое отношение определяется однозначно и равно (1 - n/9)/(n + 1), а при п > 9 задача не имеет решения.
III.3. В вертикальном направлении на шарик действует сила тяжести Fg = m g , где g - ускорение свободного падения, и сила F со стороны зарядов на горизонтальной плоскости. По условию задачи заряды по плоскости распределены равномерно. Как известно, напряженность электрического поля, создаваемого такой плоскостью, направлена перпендикулярно к ней, а его величина не зависит от удаления от плоскости и равна а/(2є0), 58
Задачи вступуте.г.оных экзаменов по физике. Вып.7
где E0 - электрическая постоянная. Если а > 0, то силовые линии поля направлены от плоскости, а при а < 0 ~ к ней. Из сказанного в соответствии с определением напряженности электрического поля следует, что силу F можно найти из выражения
