Задачи вступительных экзаменов по физике - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если расстояние между дном поршня и дном цилиндра при равновесии обозначить L, то из уравнения Клапейрона-Менделеева следует, что давление газа под поршнем в рассматриваемом состоянии должно быть равно
vRT Решения задач. Механика
39
При смещении поршня от равновесного положения вниз по вертикали на расстояние х давление в цилиндре должно увеличиться до величины
и, следовательно, поршень должен иметь ускорение, направленное вертикально вверх и равное
где F - величина силы натяжения нити, действующей на поршень в рассматриваемый момент времени. По условию блок невесом. Поэтому (с учетом ранее сделанных предположений) можно считать, что и на брусок нить в указанный момент времени будет действовать с силой, величина которой равна F, а ускорение бруска на основании II закона Ньютона должно быть равно по модулю
и направлено вниз вдоль наклонной плоскости. С другой стороны, в силу нерастяжимости нити и стандартных предположений о геометрии блока можно утверждать, что а = аб, т.к. при малых колебаниях нить должна быть натянута.
Складывая почленно два последних уравнения и выражая из ранее составленных уравнений давление газа через положение поршня, получим
Из этого соотношения видно, что при малых смещениях (X « L) ускорение поршня пропорционально величине смещения и направлено противоположно этому смещению. Поэтому можно утверждать, что в рассматриваемой системе малые колебания бруска вблизи положения равновесия будут гармоническими, а искомая угловая частота этих колебаний должна быть равна
vRT
P --
F S(L-x)
a = S (р - ра )/m - g + F/m ,
а5 - gsina - F/m
со =
ра S + mg(l - sin a)
т vRT 40
Задачи вступуте.г.оных экзаменов по физике. Вып.7
т.к. при гармонических колебаниях отношение величины смещения к модулю проекции ускорения на направление смещения обратно пропорционально квадрату угловой частоты колебаний, а из первых трех уравнений следует, что
vRT
L =-
ра S + mg(l - sin а) •
В заключение отметим, что колебания в данном случае следует считать малыми, если не только амплитуда Xm смещений бруска и поршня от положения равновесия много меньше высоты L столба газа в цилиндре при равновесии, но и со2 xm < g sin а ¦
1.15. Будем решать задачу в лабораторной системе отсчета, ось OX которой направлена вертикально вниз, а начало отсчета - точка 0 — совпадает с положением точки крепления пружин при равновесии груза. Если груз переместится вниз на небольшое расстояние x, то оси крайних пружин займут положение, показанное на рисунке пунктирной линией. Поскольку смещение груза от положения равновесия мало, можно считать, что удлинение крайних пружин будет равно х cos a , а действующая со стороны каждой из крайних пружин сила будет направлена вверх под углом ос к вертикали и увеличится на величину F2 =k2xcosа. Действующая же на груз сила со стороны средней пружины увеличится на величину F1 = ktx. Пренебрегая, как это обычно и делается в подобных задачах, силами трения и считая выбранную лабораторную систему инерциальной, на основании сказанного выше и II закона Ньютона уравнение движения груза с учетом невесомости пружин можно представить в виде Решения задач. Механика
41
m X = -kj X - 2 к2 X cos2 а .
Из этого уравнения видно, что ускорение груза х пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в сторону, противоположную смещению. Поэтому при сделанных допущениях вертикальные колебания груза должны быть гармоническими. Учитывая, что при таких колебаниях квадрат угловой частоты со равен модулю отношения ускорения груза к его смещению от положения равновесия, а произведение угловой частоты и периода колебаний равно 2 к , вычислим искомый период малых вертикальных колебаний груза:
T = ^ = 2nl--m ,
СО "У kt + 2k3 cos а
1.16. Поскольку оси пружин параллельны гладкой горизонтальной поверхности стола, совпадают между собой и проходят через центр масс доски, центр масс кубика располагается над центром масс доски, а доску смещают от положения равновесия вдоль оси пружин, можно считать, что после ее отпускания доска и кубик будут двигаться поступательно. Принимая лабораторную систему отсчета, ось OX которой совпадает с осью пружин, а начало отсчета - с положением центра масс доски при равновесии, за инерциальную, считая толщину доски постоянной, уравнения движения доски и кубика на основании II закона Ньютона можно записать в следующем виде
MX = -2kX-FTpi Itix = Fip.
Здесь X и X - координата и проекция ускорения доски на ось OX, X - проекция ускорения кубика на указанную ось, а FTp — величина силы трения между доской и кубиком. При составлении уравнения движения доски считалось, что при всех допустимых деформациях силы, действующие на доску со стороны пружин, подчиняются закону Гука. Кроме того, мы пренебрегли силами трения, действующими на движущиеся тела со стороны окружающей их среды, т.к. в противном случае, очевидно, движение доски и кубика не могло бы быть гармоническим. 42
Задачи вступуте.г.оных экзаменов по физике. Вып.7
