Математическая биология развития - Аладьев В.З.
Скачать (прямая ссылка):
точку Р (х, у) провести две кривые с общей касательной, то в образе точки
Р -точке Q (х\ у') - образы кривых также будут иметь общую касательную. В
частности, дуга с контактом под действием преобразований (5) перейдет в
дугу с контактом, а дуга без контакта - в дугу без контакта.
Если на плоскости ху построить огибающую семейства интегральных кривых,
то ее образ относительно преобразований (5) будет огибающей образов
интегральных кривых и, следовательно, преобразования (5) переводят
предельный цикл в себя, хотя произвольная интегральная кривая под
действием преобразований (5) переходит в какую-то, вообще говоря, другую,
интегральную кривую.
Нетрудно проверить, что при ос ->¦ 0 отношение т]/? стремится к р. Можно
показать, что для системы типа (31) ? и ц -полиномы. Следовательно,
предельные циклы можно искать, как связные компоненты алгебраической
кривой
F (х, у, = 0. (36)
Возвращаясь к нашей системе (3), мы получаем, что ее предельные циклы
содержатся среди связных компонент алгебраической кривой
Л S 7 a№uW = 0 (37)
0<i+fc<2 0<г+*г<2
при дополнительном условии - инвариантности системы относительно
преобразований (5) (U - 7 Ь1кигик, V= S eisMlHs)
e<fr+i<2 o"sfr-H<2
i (vv, - ev j +1, (vu, - vv.) +
+ U*^ + Vr(J±-*i-')-V^=,0. (38)
По теореме Гарнака, число связных компонент алгебраической кривой степени
п не превышает 1/2 (п - 1) (п - 2) + 1.
Результаты Тун Цзин-чжу [1962] позволяют детализировать
относительное расположение предельных циклов. Каждая замкну-
14
тая траектория системы (3) с квадратичными правыми частями выпукла. Если
в системе существуют два предельных цикла, то они либо расположены один
внутри другого и сонаправлены, либо расположены один вне другого и имеют
противоположную ориентацию. Если число предельных циклов равно трем, то
они либо вложены один в другой и сонаправлены, либо два цикла вложены и
сонаправлены, а третий лежит вне и имеет противоположную ориентацию.
Система (3) с квадратичными правыми частями не может обладать тремя
предельными циклами, лежащими врозь, один вне другого, или двумя циклами,
лежащими один вне другого внутри третьего.
Аналогичные утверждения справедливы и в том случае, если число предельных
циклов больше 3.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ
С. Н. Малыгин
В настоящей статье речь пойдет о применении в биологии теории катастроф.
Термин "теория катастроф" предложен французским топологом Томом [Thom,
1975] для обозначения широкой программы математического описания явлений,
связанных с резкими скачками и качественным изменением картины
исследуемого процесса. Том заложил основы общей теории устойчивости,
применимой к математическим моделям различных типов. В сущности, эта
общая теория совпадает с классической теорией бифуркаций динамических
систем, развитой в исследованиях А. М. Ляпунова, Пуанкаре и А. А.
Андронова. Том соединил с теорией бифуркаций идеи Уитни об особенностях
гладких отображений, что привело, с одной стороны, к существенному
математическому продвижению, а с другой - к систематическому применению
развитой теории в других науках, в частности, в биологии. Следует
подчеркнуть, что методы Тома, развивая, казалось бы, традиционные разделы
математики, вроде дифференциального исчисления и устойчивости
обыкновенных дифференциальных уравнений, содержат много новейшей
математики (топология, алгебраическая геометрия, общая теория
динамических систем и т. п.). Поэтому, хотя многие явления,
предсказываемые теорией катастроф, можно обнаружить непосредственно
(например, каустики видны невооруженным глазом), объяснение их выходит
далеко за рамки, скажем, обычного университетского курса математики.
Некоторые авторы [Чиллингуорт, 1979] считают, что теория катастроф
призвана качественно описывать явления. Разумеется, математический метод
должен прежде всего отражать качественную сторону. Часто же
количественные методы используются именно для того, чтобы дать по
существу ответ чисто качественно-
15
го характера, например, обрушится ли мост или упадет ли на Землю
вращающийся вокруг нее спутник. После появления книги "Теория катастроф"
[Постон, Стюарт, 1980] мифу о чисто качественном характере теории
катастроф пришел конец. Физики, основываясь на "физическом понимании
явлений", применяли, разумеется, неосознанно, то, что мы называем
элементарной теорией катастроф. Так, например, JI. Д. Ландау априори ввел
в теорию фазовых переходов сборку Уитни (о ней речь пойдет ниже) и
получил в результате удовлетворительную модель фазовых переходов второго
рода. Но только сознательное применение метода теории катастроф позволяет
поставить исследование разрывов в системах, описываемых гладкими
функциями, на прочную методологическую основу.
Следует сказать еще несколько слов о самом использовании теории
катастроф. Том [Thom, 1976] различает два подхода к прикладной
(элементарной) теории катастроф. Первый - это так называемый физический
путь, основывающийся на нашем относительно надежном знании управляющих
