Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аладьев В.З. -> "Математическая биология развития" -> 4

Математическая биология развития - Аладьев В.З.

Аладьев В.З. Математическая биология развития — М.: Наука, 1982. — 255 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiologiya1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 118 >> Следующая

кольчатых червей и образования венчиков щупалец у гидроидов, а также
закономерностей филлотаксиса, Тьюринг [Turing, 1952] предположил, что
особенности протекания явлений морфогенеза можно объяснить взаимной
диффузией и реакцией особых веществ, которые он назвал морфогенами.
В простейшем случае двух морфогенов реакция между ними происходит лишь
при достижении некоторой пороговой концентрации одного морфогена в
другом. Все явление в целом, по Тьюрингу, аналогично образованию колец
Лизеганга. Сначала мор-фогены диффундируют каждый из своего резервуара.
По достижении пороговой концентрации между морфогенами происходит
химическая реакция. В результате содержание одного морфогена и другом
обедняется: концентрация падает ниже пороговой. Через
9
некоторое время концентрация (уже в новом месте, расположенном дальше от
исходного резервуара) вновь достигает порогового значения, происходит
реакция морфогенов и т. д.
Тьюринг показал, что система (2) по своим свойствам также резко
отличается от своего линейного аналога - системы с нулевыми источниками:
при некотором выборе источников однородное по пространству стационарное
состояние системы (2) неустойчиво. Тьюринг обнаружил шесть типов
асимптотического поведения однородного стационарного состояния, из
которых два реализуются при числе морфогенов не менее трех. Несмотря на
ограниченность и появление более сложных моделей, система Тьюринга и ее
многочисленные специализации продолжают служить одной из основных
математических моделей морфогенетических процессов и
структурообразования.
Не исключено, что к своей модели морфогенеза Тьюринг, создавший
абстрактную модель универсального автомата, которая позволила уточнить
важные понятия вычислимой функции и алгоритмически разрешимой проблемы,
пришел в результате размышлений над проблемами возникновения структур и
самовоспроиз-водящихся автоматов. О том, что такие размышления не были
чужды другому создателю современной теории автоматов, свидетельствует
Беркс, воссоздавший по записям фон Неймана модель самовоспроизводящегося
автомата [фон Нейман, 1971].
Групповые свойства системы Тьюринга, как и следовало ожидать, оказываются
аналогичными групповым свойствам уравнения (1), но типы источников,
допускающих расширение группы, отличаются большим разнообразием из-за
наличия двух морфогенов [Данилов, 19806]. Помимо сдвигов по
пространственным переменным и времени, системы Тьюринга допускают
преобразования подобия (сопровождаемое соответствующим преобразованием
функций) лишь в том случае, если источники принадлежат к одному из
следующих типов.
1. Степенные источники
Fi = hV, Fi = ulcvl, (14)
не вырождающиеся в линейные. Преобразования подобия имеют вид:
t'-e2at, х' = еах, и' - еш"н, v'= enav, (15)
где тип - решения системы линейных уравнений;
(s - 1) т + tn = -2, кт + (/ - 1) п - -2. (16)
2. Экспоненциальные источники, не вырождающиеся в константы.
F1 - eLtU+Uv, Fi~eUu+Uv. (17)
Преобразования подобия имеют вид:
Г = e2at, х' = еах, и' = и та, v' = v -f па, (18)
10
где тип - решения системы линейных уравнений.
Ьгт -f- Ьгп = -2, L3m + Ltn = -2. (19)
3. Источники смешанного (экспоненциально-степенного) типа. Если
функция входит в источник как степень, то при преобразовании подобия
независимых переменных она преобразуется мультипликативно (умножается на
множитель е*° с соответствующим к). Если функция входит в источник как
экспонента, то при преобразовании подобия независимых переменных она
преобразуется аддитивно (приобретает слагаемое Na с соответствующим N).
Поэтому каждая из функций может входить в источники либо
в виде степени, либо в виде экспоненты, но не в виде степени и
экспоненты одновременно. Следовательно, возможны два варианта
экспоненциально-степенных источников: в одном из них и входит в степень,
v - в экспоненту, в другом и входит в экспоненту, v - в степень.
За. Fi = u!ieLxV, F2 = uHeLi0. (20)
Преобразования подобия
t'==e*"f, х' = еах, и'- еыи, v' = v+la, (21)
где к и I - решения системы линейных уравнений:
к ("! - 1) + IL1 = -2, *s2 + 1Ь2 = -2. (22)
36. Fi = eLtUvSi, F2 = (23)
Преобразования подобия:
t' = emt, x' = eax, u' = u-\-ka, v, = elav, (24)
где к a I - решения системы линейных уравнений:
kLx + lsx = -2, кЬг + / (s2 - 1) = -2. (25)
Преобразования подобия порождают автомодельные решения, зависящие от xlY
t.
В неодномерном случае комбинации поворотов и преобразования подобия
позволяют получать спиральные решения.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ В СИСТЕМЕ ТЬЮРИНГА С КВАДРАТИЧНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
Как было показано выше, группы, допускаемые уравнением (1) с системой
Тьюринга, довольно бедны преобразованиями. Это обстоятельство, казалось
бы, должно значительно обесценивать применение групповых методов к
анализу сложных систем, где режим, обладающий сколько-нибудь заметной
симметрией, должен считаться скорее исключением, чем правилом.
Однако получение инвариантных и частично инвариантных решений далеко не
исчерпывает возможности групповых методов. Как будет показано ниже, даже
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed