Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аладьев В.З. -> "Математическая биология развития" -> 3

Математическая биология развития - Аладьев В.З.

Аладьев В.З. Математическая биология развития — М.: Наука, 1982. — 255 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiologiya1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 118 >> Следующая

он обладает универсальностью, т. е. применим к любым системам, независимо
от числа входящих в них уравнений, порядка производных, нелинейности и т.
п., и это выгодно отличает его от более специфичных определений симметрии
и методов решения уравнений, использующих индивидуальные особенности
системы (4).
СИММЕТРИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА - ПЕТРОВСКОГО - ПИСКУНОВА
Как известно, линейное уравнение диффузии -уравнение (1) с F (и) = 0 -
непригодно для описания автоволновых процессов (и, следовательно, не
может служить математической моделью структурообразования или
морфогенеза): любое начальное распределение со временем расплывается,
переходит в пространственно-однородное. А. Н. Колмогоров и др. [1937]
обнаружили, что уравнение (1) обладает'решением, в корне отличающим его
от линейного уравнения диффузии,ра именно решением типа бегущей волны.
Скотт [1977] посвятил этому важному открытию следующие прочувственные
строки: "Если оглянуться назад, то окажется,
7
что математики упустили прекрасную возможность получить важные научные
результаты только потому, что игнорировали изучение нелинейного уравнения
диффузии. Исключением была работа Колмогорова, Петровского и Пискунова,
посвященная уравнению (1), которое было -связано с биологической задачей
о диффузии популяций (уравнение (1) должно быть, по-видимому, названо
уравнением КПП). Они показали, что любое начальное возмущение в виде
перепада стремится к одному и тому же уединенному стационарному решению
вида
и (х, t) = щ (х - vt), v = const. (8)
Авторы изучили это решение с помощью фазовой плоскости и получили в явном
виде выражение для скорости v.
То, что математики не сумели своевременно изучить уравнение (1), не может
быть объяснено слабостью их техники перед лицом огромных математических
трудностей. ...Выполненные Бусси-неском, а также Кортевегом и де Фризом
теоретические исследования уединенных волн на воде, описанных Скоттом -
Расселом, свидетельствуют о достаточном понимании сути дела.
...Препятствие, вероятно, заключалось в том, что математики автоматически
перенесли вывод о неволновом поведении решений линейного
дифференциального уравнения на нелинейный случай. ...Чтобы иметь
наглядный пример нелинейной диффузии, нам нет необходимости обращаться к
экзотическим примерам: достаточно взять обыкновенную свечу, веками
освещавшую рабочие столы ученых. Диффузия тепла от пламени освобождает от
воска все новые участки фитиля, которые в свою очередь загораются и
служат источниками тепла" (с. 288).
Как показывает групповой анализ [Данилов, 1980а], уравнение (1) в общем
случае (при произвольном выборе источника F (и)) допускает лишь сдвиги по
пространственной переменной и времени, т. е. преобразования (5) вида
х' = х + a, t' - t + а. (9)
Нетрудно убедиться в том, что уравнение (1) действительно допускает
эти'преобразования: для этого достаточно заметить, что коэф-
фициентьГуравнения (1) не зависят явно от пространственной переменноии
времени.-Теория'Ли позволяет утверждать нечто большее: она не'только дает
алгоритм для нахождения легко проверяемых преобразований (9), но и
гарантирует, что других преобразований, которые не изменяли бы вид
уравнения (1) при произвольном источнике F (и), не существует. Решение
типа бегущей волны порождается линейной комбинацией
4 + i <10)
инфинитезимальных операторов преобразований (9). Доказательство
существования наименьшей скорости гмин, при которой бе-
8
гущая волна устойчива, требует привлечения негрупповых соображений.
При F = u6, s=^1,s=t^0 (мы рассматриваем нелинейные источники) и F = eLu,
L Ф 0 группа расширяется: в нее, помимо обычных сдвигов, входит
преобразование подобия
t' = e*at, х' = еах (11)
независимых переменных, сопровождаемое компенсирующим преоб-
2 а 2
разованиемфункции и' = е1-4 и (для F = us) и и' - и j-a (для
F = eLu). Решения, инвариантные относительно преобразования подобия,
называются автомодельными. Таким образом, из группового анализа уравнения
(1) следует, что автомодельными решениями обладают только уравнения со
степенными и экспоненциальными источниками.
При переходе к ц-мерному случаю, помимо сдвигов по пространственным
переменным и времени, уравнение
щ = DAu + F (и) (12)
(n-мерный аналог уравнения (1) при произвольном источнике F (и))
допускает повороты в координатных плоскостях по пространственным
переменным
xi = xt cos а + хт sin а, хт = - xt sin а + ?mcos а. (13)
Расширение группы происходит, как и в одномерном случае, лишь при
источниках степенного и экспоненциального типов. Комбинируя повороты с
растяжением (преобразованием подобия), мы получаем архимедову спираль в
соответствующей координатной плоскости, а функция, зависящая от
инвариантов движения по спирали, удовлетворяет обыкновенному
дифференциальному уравнению, аналогичному для степенного источника
уравнению Эмдена.
СИММЕТРИЯ СИСТЕМЫ ТЬЮРИНГА
Исходя из периодичности в распределении пятен на Dalma-tium, сегментации
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed