Математическая биология развития - Аладьев В.З.
Скачать (прямая ссылка):
направления могут служить знаменитые книги д'Арси Томпсона [Thompson,
1942] и Вейля [1968], примерами второго - ставшие классическими труды А.
Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова [19371 и Тьюринга
LTuring, 1952].
Между тем, если под симметрией понимать не только симметрию внешних форм
или внутреннего строения живого организма, но и инвариантность самой
математической модели относительно некоторых преобразований входящих в
нее величин, то открывается возможность синтеза обоих направлений.
Проникновение идей симметрии в теорию уравнений нелинейной диффузии
позволяет классифицировать источники по запасу допускаемых ими
преобразований, находить группу уравнения с источником заданного вида, по
известной группе уравнения строить инвариантные и частично-инвариантные
решения, делать важные выводы о существовании и несуществовании в данной
математической модели авто-волновых процессов определенного типа,
находить более простые системы, которые могут служить поставщиками
решений для более сложных систем, строить модели, обладающие заранее
заданной симметрией и решать многие другие не менее важные задачи.
В настоящей задаче, теоретико-групповой (симметрийный) подход использован
для построения групповой классификации источников в уравнении
Колмогорова-Петровского-Пискунова
ut = Duxx + F(u) (1)
и в системе Тьюринга
щ = (u, v), vt = D2vxx + F2 (и, гг), (2)
а также для выяснения числа предельных циклов в сосредоточен-
5
ной системе
ut = Fx (и, v), vt = F2 (и, v),
(3)
где Fi й F% - квадратичные полиномы.
МЕТОД ЛИ
Техническую основу используемого нами подхода составляет теория Ли
групповых свойств дифференциальных уравнений. Пусть
- система дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных
производных (возможно, состоящая из одного уравнения). Здесь х -все
независимые переменные, и -все подлежащие определению зависимые
переменные системы.Говорят, что система
(2) допускает преобразования
x' - f(x, 6; а), и' - ф (х, и; а);
X |а=0 - о, и |ос=0 - О,
если она инвариантна относительно перехода от исходных (нештрихованных)
величин к штрихованным. Совокупность преобразований (5) образует группу
G, называемую группой, допускаемой системой (4).
В зависимости от выбора системы (4) преобразования (5) могут быть
достаточно сложными. Теория Ли позволяет существенно упростить изучение
группы G, допускаемой системой.(4), сводя ее к изучению так называемой
алгебры Ли L инфинитезимальных операторов
порожденных преобразованиями (5). Подчеркнем, что коэффициенты | и т)
инфинитезимальных операторов (так же как и функции / и ф, задающие
конечные преобразования) зависят только от х, и, но не зависят от
производных функций и по я. Требование инвариантности системы (4)
относительно преобразований (5) позволяет указать алгоритм для получения
определяющих уравнений, которым удовлетворяют | и т]. Эти уравнения, как
правило (хотя и не всегда), проще исходной системы (4). Решая их, можно
без каких бы то ни было дополнительных предположений, учитывающих
содержательную интерпретацию системы (4) (ее физический, биологический,
химический смысл) найти коэффициенты | и ц и по известной алгебре Ли L
восстановить групп-у G.
S (х, и) = О
(4)
X = I (X, U) + Г] (х, и) ,
(6)
где
да а=о' ^ да <х=о'
(?)
6
Если исходная система содержит произвол (например, в рассматриваемых
далее случаях заранее не задан вид источников), то им можно
воспользоваться для расширения группы G, решив задачу о групповой
классификации произвольных элементов системы, т. е. выяснив, в каких
случаях, помимо обычного- набора преобразований, система допускает
дополнительные преобразования.
Действуя на любое решение системы (4), преобразования (5) переводят его в
какое-то другое решение той же системы. Однако пространство решений
системы (4) в общем случае неоднородно относительно допускаемой ею группы
G, или, что то же, группа G действует на пространстве решений, вообще
говоря, интранзи-тивно. Это означает, что хотя преобразования (5)
переводят решения системы (4) в решения той же системы, для любого
решения системы (4) не обязательно найдется преобразование (5),. которое
переводило бы его в любое заранее заданное решение той же системы.
Преобразования (5) позволяют находить решения, зависящие от меньшего по
сравнению с общим случаем числа переменных. Новые переменные представляют
собой инварианты группы G или ее подгрупп Я*.
Определение симметрии системы (4), по Ли, не единственно возможное.
Известны и другие определения симметрии дифференциальных уравнений,
позволяющие для систем определенного вида (например, для линейных систем)
находить более широкую группу, чем G. Известны также методы решения
уравнений отдельных типов, позволяющие находить более общие решения, чем
метод Ли. Тем не менее метод Ли обладает одним несравнимым достоинством,
позволяющим ему успешно конкурировать с более широкими определениями
симметрии и с более мощными методами решения дифференциальных уравнений:
