Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Адзерихо К.С. -> "Лекции по теории переноса лучистой энергии" -> 17

Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.

Адзерихо К.С. Лекции по теории переноса лучистой энергии — БГУ, 1975. — 192 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriiperenosaluchistoyenergii1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 44 >> Следующая


64
ции /(О, ц), выражающейся непосредственно через <р(ц) (3.16). Несколько позже [32] Амбарцумяном был^ показано, что подобное уравнение для интенсивности излучения можно получить из чисто физических соображений (§ 3 настоящей главы). '

Метод Амбарцумяна основан на некоммута Явности первого интегрального оператора Милна А и дифференциального

оператора . По формуле (7) § 1 имеем: „-к

dx

А {е (т')> - А (-^Ц = -Lj. (0) E1 (т). (3.17) rfx I dx J 2 .

Так как

d& (т)

то

или

dx dx

dz (X) = A fde (t') j + е (0) Еі (т)

dx I dx' І 2

л—TS

е'(т) = А{е'(т')} + — е (0) ( g ds. (3.18)

2 Js

Соотношение (3.18) является неоднородным интегральным уравнением, причем второй член справа можно представить как суперпозицию членов типа A (k) ё~хк, где A (k) =

=------е(0). Если положить

2k

е(т, ?)=А{е(т', &)} + <Гт\ - P (3.19) то, интегрируя это выражение с весом A(k), получаем:

OO OO

4 f f A (k) е (т, k)dk = а{ [ A (k) z(x', k) dh\ +

'f \ \ і OO

+ j A(k)e~%kdk. (3.20)

I

5 К. С. Адэерихо . 65
Сравнивая уравнения (3.18) и (3.20), можно сделать предположение*^, что выражение

е' (т) = j" А (k) е (т, k) dk

(3.21)

V

является решением уравнения (3.18).

Применим к (3.21) преобразование Лапласа:

OO

Lif (t')} = sj f (t') e~ST'dx'.

о

Учитывая, что L {е' (т')} = sL {е (т')} — se (0), находим:

•о

sL {е (т')} — se (0) = j A (k) L {е (т', k)} dk. і

Обозначим L {е (т7)} = 6 (S) и L {е (т', k)} = b (s, k). Тогда

OO

sb (s) — se (0) = j А (k) b (s, k) dk, і

где A(k) = e(0)/2k.

Отсюда находим уравнение для b (S):

b (S) = в (0)

1

1 +

1

OO

і

b(s, k) sk

dk

(3.22) *

Величина — b (s, k) обладает замечательным свойством, s

позволяющим непосредственно прийти к окончательному результату. Оказывается, величина

Ь (s, k)

R (s, k)

(3.23)

симметрична относительно перестановки своих аргументов: R(s, k)==R(k, s). (3.24)

*) Это предположение, как показано в конце этого параграфа, действительно выполняется.

66
Покажем это. По определению:

OO ео

R (s, k) = f є (т, k) e~Xs dx н R(k, s) = J е (х, s) e~xkdx. о о

Нетрудно показать, что

во от

[е(т, s)A{e(x', &)}dx = j е(т, k)A{e(x', s)}dx (3.25)

о о

(см. формулу (8) § 1) и поэтому из соотношений 00 00

Jє (г, к)г(т, s) dt = (т, s)A{e(x', k)} dr +

о о

00

-j- j* е~тк е(т, s)dx

о

и

00 00

[е(т, s) е (т, = Je(x, 6)Л{е(т\ s)}dx +

о о

•о

4 J e~xse (х, k) dx

приходим к свойству (3.24).

Таким образом, по (3.22):

OO

6(s) = e(0) I + i- J R(s, k) . і

Полагая в (3.19) т=0, находим:

OO

е(0, к) = Л0{е(т\ к)} + 1 = у-?“х(т)е(т, k)dx+l =

о

OO OO

= I + ~ Je (т ’ j* =

О 1

5* 67
Аналогично находим

OO

в (О, s) = I + i-J я (s, k)~ . (3.26а)

і

Тогда (3.22) можно переписать в виде

ft (S) = в(0) в (0, s). (3.27)

Последнее соотношение имеет вполне определенный физический смысл. Действительно,

00

Ь (s) = L {е (т')} = s j" е (т) e~sX dx.

0

Полагая здесь S= 1/ц, находим, что

" T

ft (^-) = j е(т)е_тг—, (3.28)

о И

а это по (3.7) есть не что иное, как интенсивность излучения, выходящего из бесконечного слоя, если левую полусферу считать положительной. Поэтому нам необходимо установить смысл величин е (0) и е (0, s), которыми определяется b (s)~ I (0, ц).
Применим свойство (3.17) к функции е (т, ft):

— Л{е(т', ft)} — Л дг^'' ftM--1 dx

дх

1 ;

Ho, в силу (3.19),

Л {е (т', ft)} = е (т, ft) — е-хк.

Поэтому

е' (г, ft) = Л (e' (т', ft)} — for-**+ j A (ft, ft') e-rt' dk\ (3,29)

где

A(k, ft') = ^e(°> *)•

Проинтегрируем (3.19) no ft' с весом i4(ft, ft'):

OD oo

je(x, ft') л (ft, ft')dft' = A{Je(x', ft') л (ft, ft') dft'j +

00

^ + ^/I (ft, ft')e-T*'dft'.

1

Сравнивая это выражение с (3.29) с учетом (3.19), можно принять за решение (3.29) функцию

00 >

е'(т, ft) = j е(т, k')A{k, k')dk' — fte(x, ft). (3.30)

1

Применим к (3.30) преобразование Лапласа: . _

sL{e(x', ft)} — se(0, ft) =

eo

= Ji4(ft, ft') L{e (t', k')}dk' —ftL{e(x', ft)} i

или в введенных нами обозначениях
С учетом (3.26) последнее соотношение можно переписать в виде (s+k)R(s, ?) = е(0, к)в(0, s) или

tf(s, k) = .е(°> .?)g(°> .kX . (3.31)

s + k

Подставляя (3.31) в (3.26) или (3.26а), находим уравнение, определяющее функцию е(0, k):

OO

е (0, k) = 1 + е(0, к) Г - -g^0; ds (3.32)

2 . J s (s 4- k) і

или

8 (0, $)=1-(- — е(0, S) Г е(-- ’ dk. (3.32а)

2 J k(s + k)

і

При s =¦— и k = —е (о, —^ ян ф(|х) — известная IL \L' \ \l J

функция Амбарцумяна, определяемая уравнением

і

ф(р.) = і + L цф (ц) Г Ф'- (з-зз)

2 J |i + |i

о

Остается теперь определить величину е(0). Для этого обратимся к выражению для средней интенсивности выходящего из слоя излучения:

і j т = /(0> ^=е(о). t

7 О

С другой стороны,
Поэтому

I Ф (|л) = 2. (3.34)

о

Это дает возможность записать уравнение (3.33) в несколько другом виде:
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 44 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed