Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
1 _ ^ di X j .
2 4я O0 ;?) ^ 4(i ° :
2rt I
Л = ( 1 j I 7Op(м-. ц')ф'<? S
о о
Xdi
1O J р(^. ЮФ'і
2
О
2Я 1
1------— йфф/ s
Ho / Iа
7* = /оЦоР Ц<)) о о
Mt , Г
= -gjf 7OiiO J р (к',
О
2 Jt I
/б = ( 1 ~ ) dT j* J р fx^ rfIiW Y х
о о
2 Tt 1
Х і Р^’ /ofA° ( 1 —) rfIiW S 1 1 SAdxZ0^0 Jp (ц, M-") CftX" J р(ц', Ii0Jdii'.
0 о
По (3.37) находим уравнение для отражательной сп собности слоя:
і
^ Ji Г
р(Iі- Ii0)(і1 + Ix0) = -j- + Y Iі р(p. IiOrfIi' +
о
1
+ ~ IiO j* P(Iі* (iC)rfIi +
о
1 1
+ ^IiIiO j* P (|А, li") d\i" Г р(М-'. Ii0) rfIi'
о
76 <
Рис. 9. Функция Амбарцумяна M1 Ф(ц) при различных значениях ' вероятности выживания кванта: •
1—Л-1,0; 2—0,995; 3—0,975; 4—0,93; 26 5—0,9; 5—0,8; 7-0,6; «—0,4; 9—0
0 OJ 0,4 0,6 0.8 JU
или после преобразований: к
PO*. (A0)
4 ((A + (X0)
1
I + 2|i j* р (|л, ц')
X
I + 2M-O P ^M-
I. (A0) dM-j •
(3.38)
Уравнению (3.38) удовлетворяет также и функция р (ц.0, (j.), т. е. единственность решения нашей задачи требует симметрии функции р([х, }д.0):
Р(Ц. ^о) = Р (Н-0> Iа)-Это условие ведет к соотношению
где
или
р(,іЦо)=А.ФМіМ
4 (А + Ho
ф (|i) = 1 + 2ц j р ([і, jj/) ф'
(3.39)
(3.38а)
I
Ф (Iа) = I + -JT W(Iа) Г d\i'. (3.40)
2 J M- + M-
о
Таким образом, для функции ф (ц) получено уравнение, аналогичное уравнению (3.33), для любого К. Из (3.40) вид-
77
но, что при X=O ф (ц) = 1. Как показывают непосредственные (численные) расчеты интегрального уравнения (3.40), функция ф(ц) для Х=0ч-0,5 почти не зависит от А (рис. 9). При X=I и (х= 1 функция ф (|х) достигает своего максимального значения:
Фшвх = 2,9078 .. . (3.41)
(^v 4/^асчет альбедо полубесконечной среды
Отношение энергии, выходящей из среды за единицу времени, к величине энергии, падающей на единицу поверхности за единицу времени, называется альбедо среды. Так как падающая энергия равна
E0
а энергия выходящего из среды излучения —
і
E = j / (0, [і, (X0)^Q = 2я[х0/0 J р ([х, (X0) (Цх,
(2Я) 0
то альбедо среды в нашем случае равно
і
Л = >1 (Ii0) - -§- = 2 f рfti. (і0)|іф- (3.42)
* I
Из этого соотношения следует, что в частном случае, при р ({х, (X0) = P0 = Const, т. е. при независимости коэффициента отражения от направления (условие ламбертовского отражения), величина А есть не что иное, как коэффициент отражения среды.
Согласно (3.38а),
A= |<РЫ Г -И^ф.
2 J [X + [X0
О
Используя уравнение для функции Амбарцумяна (3.40), имеем:
і і
Л = ф(щ) Г Ф ((A) d[X — 1А0ф ((X0) Г -ФМ- ф =
2 J 2 J- I*+ IA0
О о
78
— ф (Ho) J ф(М-)Ф + 1 —ф(|*в) =
0
= і—ф (Ii0)
где
і — — J ф(ц)Ф
0
= 1-
--—а,
о »
ао= J Ф (м-) dfx.
Таким образом, задача свелась к определению нулевого момента функции Амбарцумяна при X Ф1 (в отличие от (3.34)).
По (3.40):
О 0 0
I 1
-J Ф(м-)ф J ф(м-')ф' —
о о
Г Г фб*)ф(у
Ц M-
Отсюда a0 — I + а§Х/2 — (а0— 1) или а^./4—а0—1 = 0. Тогда
і
= 1 +
«о= J ф(и)Ф = у (1—» 1 —
X). (3.43)
Выбор положительного знака перед корнем обусловлен тем, что при X=Q ф = I HOC0=I. Следовательно, альбедо полубесконечной среды определяется соотношением
A = A (Ji0) = 1 — ф ([I0) Vl-X.
(3.44)
79
Это соотношение дает возможность найти излучательную способность полубесконечной плоской среды:
Для слоя конечной оптической толщины необходимо вводить в рассмотрение две функции Амбарцумяна: ф(и) и -ф (ц). Интегральные уравнения для них получаются так же, как в § 2. Интегральное уравнение переноса в этом случае имеет вид
Преобразуя (3.41) с помощью (3.17), приходим к соотношению
Умножая это выражение на е м, а затем на е интегрируя по т от 0 до т0 с помощью коэффициен-фузного отражения и пропускания
е = 1 — А = ф(ц0) і 1-Х.
(3.45)
Функции Амбарцумяна для конечнрго слоя
о
е'(т, Ho) -= — — е(т, Ho) "Ь Ho
(3.47)
О
Отсюда
і
е' К Ho) = — — е (Т. Ho)+ T- е (°> Ho) Г е (т> и) — Ho 7JH
1
X
получаем уравнения для искомых функций:
і
<р(ц) = 1 + 2njp(|i, н'Мн'.
о
__!• і Ф(Н) = * u +2ц j1 ц')ф'. о
Здесь
р(Ц) ц0) = А . фМфЫ— ф(цЖир)
4 ц -f Ho
* Ф (Ho) Ф (и) — ф (и) Ф (Ho)
(3.48)
(3.48а)
?(И> Ho)
4 H-H0
При К = 1 появляется неопределенность в решении системы интегральных уравнений типа
Ф (H) = Ф (H) + HG [Ф (H) + Ф (H)I.
V (н) = ф (H) — HG ІФ (H) + ^ (и)]-
Эта неопределенность устраняется условием постоянства потока и существования так называемого /С-интеграла:
К — j / (т, н) Hj^Q-
(4Я)
Интегральные уравнения для ф(ц.) и -ф (н) по (3.43) можно записать в виде
,,(H)=H. А Д ЧФЖЮ
2 J Н.+ Н'
(3.49)
,ЮО-Г*+ - и Г ф(и')*М-ф(ц)1(.Ю ф,.
2 J н — И'
0
6. К- С. Адзерихо 81
Так как решение задач о распространении излучения в плоской среде при различных условиях .почти всегда можно записать через функции ф(ц) и ф(ц), то табулированию этих функций в настоящее время придается очень важное значение.