Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Адзерихо К.С. -> "Лекции по теории переноса лучистой энергии" -> 16

Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.

Адзерихо К.С. Лекции по теории переноса лучистой энергии — БГУ, 1975. — 192 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriiperenosaluchistoyenergii1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 44 >> Следующая


* 0 v

=ф{е(т')}.

Таким образом, второе интегральное уравнение Милна имеет вид

P = Ф {е (т')}, (3.12)

где величина P задается условиями задачи.

Интегральный оператор Ф — второй оператор Милна. (Свойства интегральных операторов Милна обсуждаются в конце параграфа.)

Обратимся к проблеме Милна. Уравнение (3.8) можно решить для "К Ф 1 и R1Ф О методом Винера—Хопфа с помощью преобразования Фурье. Аналогичным путем Фок [29] впервые получил точное решение (3.10). Пусть уравнение (3.10) справедливо для —ооСтСоо. При получении решения будем полагать е (т) == 0 при т < 0, что -и будет соответствовать физическому смыслу задачи. Для 0 <т<;оо и —оо< т-с 0 введем два преобразования Фурье:

«о О

F+ (р) =J е (т) eipxdx и F~ (P) = J е (т) eipXdx. (3.13)

Умножая уравнение (3.10) на е‘рТ и интегрируя по т, приходим к соотношению

F+ (р) -г F~ (р) = arctg р \

P

ИЛИ

F+(p) ^ 1------1— arctg = —.F~(p). (3.14)

Исследование свойств регулярности исходных функций и применение интеграла Коши для интенсивности выходящего излучения приводят к выражению

по, IX, (X01) = ^oiZoi---01- - (3.15)

4л ц 4- JX01

59
где функция ф(ц) определяется соотношением

Представление, подобное (3.15), было ранее получено Амбарцумяном [30], а функция ф((х) с тех пор называется функцией Амбарцумяна.

Свойства интегрально-показательной функции и интегральных операторов Милна

1. Интегрально-показательная функция En (х).

00

р P-XS

^nW= I -рг-*(*>0, П>0);

1

х

Еі (х) = -eI (— х) • Ei M = і — ds\

J s

— OO

I X2 I г" I X*

E1(X) = -C- 1пЫ + *—— . — .

1 2 21 З ЗІ 4 41

\ X2 I у8 Ix'

E1 (*) = с + In |*| + х + — • — + — • — -J-------

t w т і 1 г ' 2 21 З 3! 4 4і

(с = 0,5772156 ... — постоянная Эйлера);

*-*0, E1 (ж) ~ In —, Ei (х) ~ In |хі;

1*1

х -* да, E1 (х) ~ X-1 е~х, Ei (х) ~ х~'е~х;

1 1 1-2 1-2-3

*>1. E1 W 3в-(___

со

пЕя+і (*) ~е~х-хЕп (х), Еп+1 (д) = j En (х) dx, dAzjl^L=-En(X).

Функции E1 (х) и Et (х) графически представлены на рис. 7. На практике часто используют приближенное соотношение:

E1 (х) = ]/3 ехр (— • х).

60
Рис. 7. Функции Ei (.г) (кршзая I), Ei(X) (2) н УЗ ехр (-УЗ*) (3)

2. Свойства первого интегрального оператора Милна 1 °°

л {f (*')} = T fEi ~ f (д;,) dx ’

о

OO

л0 {f (*')) =л (f) =у j Ei (*') f (*')

о

OO

I f 1

A0 {с} = — с J E1 (х') dx' = — с;

О

OO

л» {«'} = у с j* *'?i (*')dx' = \с [*'?і (*') 0 —

о

OO

— j1 ?а (*')<**'J = ~С\

о

OO OO OO

Ло{е-«'} = у (*')<**' =1 у j* e-(c+s)-*'d*' =

(I)

(2)

(3)

1 О

= -ln(l+c);

(4)

61
M X

л (с) = — С I E1 (|jc—*'|) dx’ - — с [ §Ei(x~ x')dx' + о о

OO OO X

+ Jf1 (х' — x)dx’ j = ¦— с j ds j* e^'dx' + х І О

+ ^ ~— ds J e~sx'dx' J =

\- — Ег(х)

Л I cx

d_

dx

’} = c[x+ JEs Wl‘

Функции A{fn(x')} протабулироваиы Кургановым [31].

3. Определение коммутанта^ j-, Л j. Покажем, что

?л{/<л}-л{^)-|яо>?,м.

о __

+ f (X1)E1 (X' —x)dx'— j* ) E1 (x--x')dx' — Л О

)4{-fe™+

+ /(Ar7)E1 (л — х')

(5)

(6)

(7)

X' X

J JC' —X

-I(X1)E1(X^-X)

-F(X1)E1(X-Xt)

+HO) E1(X) +

С f (xf)

о

62
+ /(*') E1 (*'-*) I- j‘ ~Гх e-(*' -W j = ~ f (O) E1 (x),

X

что и требовалось доказать. Как видно из доказательства, функция1 / (х) должна с ростом х возрастать ие сильнее, чем Xex.

4, «Симметрия» оператора Л.

OO M

J/(т, а) Л {/(т', P)}dT= jf(x. Р)Л{/(Т', а)} dx. (8)

о о

OO OO

/=|/(т, а)Л{/(т\ P)}rfT-J/(T, Р)Л{/(Т;, a))dx = о о

= ~2 \dx\dT' ^ (т’ а) /(т- ^ f (т'> a)1 ?i(iT —T'D =

О о во т

= Y jdT \dx'lf(x, a) fix', Р)-/(Т, Р)/(Г', а)] E1 (T-T') +

O о

•О ео

+ Y JdT Jdr'[/(Т, а)/(T', P)-/(т, р)/(T', а)] E1 (х' — т) =

OO т'

= Y I**' j*dT[/(T'> а) / (т- Р)~/(*'. Р) / (т, а)] (т' — т) +

0 0

00 00

+ T Jdx' IdT ^ ^' а) ^т’ ^ ~ ^(т'’ ^ ^^т’ a)1 ?l (х ~ т ) =

О X

00 00

= ~2~\dx' j*rfx^ (т> Р> — / (т' - РШТ> <*)1Еі(Іг—х'І)=—І,

о о

/ = — /, / = O1 что и требовалось доказать.

5. Свойства второго интегрального оператора Милна.

•> *

Ф {/(х')} = 2 (*')?,(*'-*) <k-2 § f (х')Ег (x’-x)dx’. (9)

-с О

63
Фо {/(*')} =ф {/(*') Ix-O =2 J fix') Ei(Xr) dx'. (10)

О

О OO

• л 2

ф0 {с} = 2с ^ E2 (x')dx' = с, Ф0 {сх'} = 2с \х' E„(x')dx' =—с,

і J .J “ * О

0 0

•о

%{Е2(х')} =2 ^ Е2(х') dx'=Y (1 1п2), |(11)

Ф0 [E3 (х’)} = 2 \ Et (х') E3 (х') dx' = -j.

оо X

Ф {с} = 2с [ j Es(x' — x)dx' — j Ei(x—x')dx' j = 2cE3 (x),

x 0

OO X

Ф {ex'} = 2c J x'E2 (x' — x) dx' — j* x'E2 (x — x') dx' j =

(12)

= Uc

2 I

(13)

так как

_d_ dx

Ф i/V)} =2 { j E1 (*' - x) f (X') dx' - E2 (X'-x) f (.Ol,, +

X

X

+ J E1 (x — x') f (Xt) dx' — E2 (x — xf) f (*')!*'-*} =

о

00

= 2( ^F.l(\x-x’\)f(x')dx'-2f(x) }=4[A{f (*'))-/(*)]•

§ 2. Аналитический метод Амбарцумяна

Идея метода Амбарцумяна [30] заключается в преобразовании первого интегрального уравнения Милна в нелинейное интегральное уравнение относительно функ-
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 44 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed