Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
Аналитические приближенные выражения функций ф(ц) и г|>(н) можно получить из интегральных уравнений (3.49), если воспользоваться приближенно выполняемым на практике условием равенства средней интенсивности выходящего излучения величине интенсивности излучения, выходящего под углом 60° *>. Согласно этому условию, подынтегральные функции в (3.49) можно заменить их значением в точке ц'= 1/2 [35]:
В случае чистого рассеяния (л->- 1) из (3.50) можно получить [35]:
Величины (3.51) совпадают сточками в пределах 10%-ной погрешности и ими можно воспользоваться как первым приближением при решении уравнений (3.49):
<р(ц) = Pup1 (М-) -г- 1 —^
*) Это условие становится строгим при распространении в среде полностью диффузного излучения [33, 34].
Ф(Ц) •
(3.50)
и
(3.52)
Для слаборассёивающих сред (X < 1) решение (3.44) можно искать в виде ряда:
ф go = 2 о*) и ((*)= 2 ^3'53)
л=0 п=0
причем
_ Jo
Ф<0) (ц) = 1 и ^<0) (Iа) = е д •
По [35]:
In _^+±х
Ф(и) = ї + ^+т ~е д *)•
(3.54)
Пользуясь соотношениями (3.50), можно без труда найти приближенное выражение для ф(ц) для полубесконечного слоя [35]*>:
т0->оо, ф (|х) =------^ — у~ ~=~ . (3.55)
Приближение (3.55) можно подставить под интеграл пер-юго уравнения (3.49) и получить более точную величину ф (|х):
/ \ і , ^ HO + 2а)
Фь (l^) — ^ ~Ь * ------------------------- X
™ 2 I — 4|а2 (1 — К)
X
--XIt In (I +2К1—X)+(l—2f*) In i±t
у I — К |А
. (3.56)
Сравнение результатов численных расчетов фа ((а) и фь (ц) с точными значениями ф(|х) приведено в табл. 1.
С помощью приближенных представлений функций Амбарцумяна ф(ц) и \|з((х) можно рассчитать интенсивность
*> При то->-оо \|з(ц)->-0.
fi*
83
Таблица I
Приближенные и точные значения функции Ф(|1) [35]
\ х 0,2 0,4 0.S 1.0
д \ Фа «Pb Ф Фа Фь ф fa «Pb Ф Фа ФЬ Ф
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
0,2 1,03 1,04 1,04 1,07 1,08 1,09 1,19 1,22 1,23 1,40 1,43 1,45
0,4 1,05 1,06 1,06 1,11 1,12 1,13 1,33 1,34 1,36 1,80 1,81 1,83
0,6 1,06 1,07 1,07 1,14 1,15 1,15 1,43 1,44 1,46 2,20 2,19 2,19
0,8 1,07 1,07 1,07 1,16 1,17 1,17 1,52 1,52 1,54 2,60 2,57 2,55
1,0 1,08 1,08 1,08 1,18 1,18 1,18 1,58 1,58 1,60 3,00 2,96 2,91
излучения, выходящего из плоского слоя конечной оптической толщины, из соотношений
/(О, И. И0) = Р(И. Ho) ИоА>
и
7(то> и. Ho) =<7(и. Ho) Ho70-
где коэффициенты P (|А, (X0) И <7((Х, (X0) определяются выражениями (3.48а).
Определение функции источников внутри слоя. 'ч«М^тод Соболева — Кейса
Для определения функции источников внутри слоя введем в рассмотрение функцию
ф(т) = у| .(т, H') •
о
Тогда уравнение (3.42) можно переписать в виде
е' (т, (X) + — е(т, |Х) = ф(|х)Ф(т).
H
84
Ёго формальным решением являОтСЯ
_ т _т^
е (т, ц) = е д{ J ф (ц)ф(т')е дйт' +C } .
о
Постоянную С можно определить из условия
е(т> Н)1т.о = е(°. Р) = Ф ДО-
Таким образом, получаем:
_ Х_ T T'
є(т, |Х) = ф(н)е д [l + J Ф(х’)е 11 dx’] . (3.57)
О
Проинтегрируем это выражение по ц с весовой функцией :
2fi
I j е (т, rt J&1 = ф (T) - Ij' ф M Г ^-41 +
о о
^ X , T т/
+ yj ф(Ю*_^-4?-Г Ф(х')е^ах' о
і т f
Ф(т) = rj +
или
T-T'
+ JocodTf-A-Jvfti')* »'JaL'
OO ^
Отсюда находим интегральное уравнение для определения функции Ф(т):
Соотношение (3.58) является известным уравнением Воль-терра. Определяя из (3.58) функцию Ф(т), по соотношению (3.57) нетрудно определить функцию источника для произвольной точки внутри слоя.
К уравнению типа (3.58) сводится и общее уравнение переноса излучения:
е(т)= (Ч(|т-т'|)е(т')А' + е0(т). (3.59)
о
Ядро этого уравнения для монохроматического излучения определяется выражением
K(T) = ^E1(X) (3.60)
(см. § 1 этой главы), а для переноса излучения в спектральной линии (глава 6, § 1) —
OO
к (т) = — Г а® (х) E1 [а (х) т] dx (3.61)
2 J
— во
(функция а(х) определяег контур спектральной линии).
Для решения интегрального уравнения (3.59) применим метод, предложенный и довольно детально разработанный Соболевым [36] и Кейсом [37].
Введем в рассмотрение резольвентную функцию (или просто резольвенту) Г (т, т'), которая связана с функцией Грина соотношением
G(t, т') = Г(т, т') + 6(т —т'), (3.62)
и запишем для нее уравнение [36]:
OO
Г(т, O = JKflT-/|)г (/, т')<#+л:(|т-т'|). (3.63) о
Определив из этого уравнения резольвенту, нетрудно, как известно [11], записать решение уравнения (3.59) в виде
е(т) = J г (т> -Oe0(Tf)A' + ео (т)- (3-64)
о
Из вида уравнения (3.63) можно заключить, что
Г (т, т')=зГ(т', т). (3.65)
86
Кроме того, резольвенту Г(т, т') можно выразить через функцию одной переменной, а именно через функцию
Продифференцируем (3.63) сначала по т, затем по т' и сложим полученные уравнения:
Теперь положим в уравнении (3.63) т' = 0 и с учетом (3,66) запишем его в виде
Таким образом, мы получим уравнение, подобное (3.58), но из сравнения (3.67) и (3.68) видно, что решение интегрального уравнения (3.59) сводится к решению дифференциального уравнения
