Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Адзерихо К.С. -> "Лекции по теории переноса лучистой энергии" -> 20

Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.

Адзерихо К.С. Лекции по теории переноса лучистой энергии — БГУ, 1975. — 192 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriiperenosaluchistoyenergii1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 44 >> Следующая


Аналитические приближенные выражения функций ф(ц) и г|>(н) можно получить из интегральных уравнений (3.49), если воспользоваться приближенно выполняемым на практике условием равенства средней интенсивности выходящего излучения величине интенсивности излучения, выходящего под углом 60° *>. Согласно этому условию, подынтегральные функции в (3.49) можно заменить их значением в точке ц'= 1/2 [35]:

В случае чистого рассеяния (л->- 1) из (3.50) можно получить [35]:

Величины (3.51) совпадают сточками в пределах 10%-ной погрешности и ими можно воспользоваться как первым приближением при решении уравнений (3.49):

<р(ц) = Pup1 (М-) -г- 1 —^

*) Это условие становится строгим при распространении в среде полностью диффузного излучения [33, 34].

Ф(Ц) •

(3.50)

и

(3.52)
Для слаборассёивающих сред (X < 1) решение (3.44) можно искать в виде ряда:

ф go = 2 о*) и ((*)= 2 ^3'53)

л=0 п=0

причем

_ Jo

Ф<0) (ц) = 1 и ^<0) (Iа) = е д •

По [35]:

In _^+±х

Ф(и) = ї + ^+т ~е д *)•

(3.54)

Пользуясь соотношениями (3.50), можно без труда найти приближенное выражение для ф(ц) для полубесконечного слоя [35]*>:

т0->оо, ф (|х) =------^ — у~ ~=~ . (3.55)

Приближение (3.55) можно подставить под интеграл пер-юго уравнения (3.49) и получить более точную величину ф (|х):

/ \ і , ^ HO + 2а)

Фь (l^) — ^ ~Ь * ------------------------- X

™ 2 I — 4|а2 (1 — К)

X

--XIt In (I +2К1—X)+(l—2f*) In i±t

у I — К |А

. (3.56)

Сравнение результатов численных расчетов фа ((а) и фь (ц) с точными значениями ф(|х) приведено в табл. 1.

С помощью приближенных представлений функций Амбарцумяна ф(ц) и \|з((х) можно рассчитать интенсивность

*> При то->-оо \|з(ц)->-0.

fi*

83
Таблица I

Приближенные и точные значения функции Ф(|1) [35]

\ х 0,2 0,4 0.S 1.0
д \ Фа «Pb Ф Фа Фь ф fa «Pb Ф Фа ФЬ Ф
0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
0,2 1,03 1,04 1,04 1,07 1,08 1,09 1,19 1,22 1,23 1,40 1,43 1,45
0,4 1,05 1,06 1,06 1,11 1,12 1,13 1,33 1,34 1,36 1,80 1,81 1,83
0,6 1,06 1,07 1,07 1,14 1,15 1,15 1,43 1,44 1,46 2,20 2,19 2,19
0,8 1,07 1,07 1,07 1,16 1,17 1,17 1,52 1,52 1,54 2,60 2,57 2,55
1,0 1,08 1,08 1,08 1,18 1,18 1,18 1,58 1,58 1,60 3,00 2,96 2,91

излучения, выходящего из плоского слоя конечной оптической толщины, из соотношений

/(О, И. И0) = Р(И. Ho) ИоА>

и

7(то> и. Ho) =<7(и. Ho) Ho70-

где коэффициенты P (|А, (X0) И <7((Х, (X0) определяются выражениями (3.48а).

Определение функции источников внутри слоя. 'ч«М^тод Соболева — Кейса

Для определения функции источников внутри слоя введем в рассмотрение функцию

ф(т) = у| .(т, H') •

о

Тогда уравнение (3.42) можно переписать в виде

е' (т, (X) + — е(т, |Х) = ф(|х)Ф(т).

H

84
Ёго формальным решением являОтСЯ

_ т _т^

е (т, ц) = е д{ J ф (ц)ф(т')е дйт' +C } .

о

Постоянную С можно определить из условия

е(т> Н)1т.о = е(°. Р) = Ф ДО-

Таким образом, получаем:

_ Х_ T T'

є(т, |Х) = ф(н)е д [l + J Ф(х’)е 11 dx’] . (3.57)

О

Проинтегрируем это выражение по ц с весовой функцией :

2fi

I j е (т, rt J&1 = ф (T) - Ij' ф M Г ^-41 +

о о

^ X , T т/

+ yj ф(Ю*_^-4?-Г Ф(х')е^ах' о

і т f

Ф(т) = rj +

или

T-T'

+ JocodTf-A-Jvfti')* »'JaL'

OO ^

Отсюда находим интегральное уравнение для определения функции Ф(т):
Соотношение (3.58) является известным уравнением Воль-терра. Определяя из (3.58) функцию Ф(т), по соотношению (3.57) нетрудно определить функцию источника для произвольной точки внутри слоя.

К уравнению типа (3.58) сводится и общее уравнение переноса излучения:

е(т)= (Ч(|т-т'|)е(т')А' + е0(т). (3.59)

о

Ядро этого уравнения для монохроматического излучения определяется выражением

K(T) = ^E1(X) (3.60)

(см. § 1 этой главы), а для переноса излучения в спектральной линии (глава 6, § 1) —

OO

к (т) = — Г а® (х) E1 [а (х) т] dx (3.61)

2 J

— во

(функция а(х) определяег контур спектральной линии).

Для решения интегрального уравнения (3.59) применим метод, предложенный и довольно детально разработанный Соболевым [36] и Кейсом [37].

Введем в рассмотрение резольвентную функцию (или просто резольвенту) Г (т, т'), которая связана с функцией Грина соотношением

G(t, т') = Г(т, т') + 6(т —т'), (3.62)

и запишем для нее уравнение [36]:

OO

Г(т, O = JKflT-/|)г (/, т')<#+л:(|т-т'|). (3.63) о

Определив из этого уравнения резольвенту, нетрудно, как известно [11], записать решение уравнения (3.59) в виде

е(т) = J г (т> -Oe0(Tf)A' + ео (т)- (3-64)

о

Из вида уравнения (3.63) можно заключить, что

Г (т, т')=зГ(т', т). (3.65)

86
Кроме того, резольвенту Г(т, т') можно выразить через функцию одной переменной, а именно через функцию

Продифференцируем (3.63) сначала по т, затем по т' и сложим полученные уравнения:

Теперь положим в уравнении (3.63) т' = 0 и с учетом (3,66) запишем его в виде

Таким образом, мы получим уравнение, подобное (3.58), но из сравнения (3.67) и (3.68) видно, что решение интегрального уравнения (3.59) сводится к решению дифференциального уравнения
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 44 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed