Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если погрешности измерений не очень велики, то связь между вариациями at и Ai можно описать в приближении линеаризации (в векторно-матрич-ном виде):
D(AiJ) = a(Ai)a(Aj)rij,
(П. 13)
Ui = AiI^iAi.
(П. 14)
ба = 5тбЛ,
П. 15)
где
(П. 16)
515- Матрица ошибок D (а) для нормированных величин получается из матрицы ошибок D (Л) по формуле, вытекающей из общих положений статистики:
D (a) = B^D(A) В, (П. 17)
индекс «т» означает транспонирование матрицы.
Необходимо подчеркнуть, что в общем случае для обработки данных методом наименьших квадратов одних только погрешностей измеряемых величин недостаточно, нужно также знать и их корреляционные свойства. В частном случае статистически независимых величин матрица ошибок становится диагональной и в формулах метода наименьших квадратов появляются обратные величины дисперсий, называемые весовыми коэффициентами. Приведенный ниже вывод справедлив в общем виде. Запишем систему уравнений (П.2) в матричном виде:
KF = A, (П. 18)
где
F = {Flf Fa... Fh); А = {АЪ A2... Ai).
Знак «Л» означает статистическую оценку. Требуется, чтобы k < I.
Решение в методе наименьших квадратов находится из условия минимума следующей квадратичной формы (так называемой статистической суммы):
?3 = (KF — AjrD (Л)-1 (KF — А), (П.19)
где D (Я)-1 — матрица, обратная D (Л). В случае ее диагопальности формула {П.19) в явном виде записывается следующим образом:
В общем случае:
її ґ k \ / k s es = 2 V D(A)ri^KtjFj-Ai
; = іг=і \/ = і / Ki= і /
Тем самым приходим к так называемой системе нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
дг* IdFi = Q для i=l,2f .... k. (П.20)
Из (П.22) следует
KrD(A)-1KF = KlrD(A)-1A. (П.21)
Если матрица (KtD (A)-1K) невырождена (ее определитель не равен нулю), то решение (П.22) можно записать в виде:
F=(lCD(Ay1K)-1 Kt D(A)-1A. (П.22)
Легко убедиться, что матрица ошибок решения D (F) = (KTD (Л)_1Д")_1. Из выражения (П.22) следует явный вид коэффициентов формулы (П.6), посредством которых решение представляется в виде линейной комбинации измеряемых величин.
<%0 задачах, имеющих неустойчивое решение, говорят, что они приводят к плохо обусловленной системе уравнений (П.21). В высшей алгебре даются количественные критерии плохой обусловленности, связанные со свойствами матрицы D (F)-1.
516- § п. 4. Методы, требующие гладкого решения
Выбор класса функций. Имеется простой частный случай, отличающийся спецификой ядра интегрального уравнения, когда гладкое решение получается дифференцированием сглаженного аппаратурного спектра. Предположим, что шкала аппаратурного спектра проградуирована в энергетических единицах. Рассмотрим следующий идеализированный вид ядра:
(const л: с Е\
Д(Х'?Н П
( 0 х>?.
Тогда
А(х)= ] ц (E) f (Е)с1Е, (П.23)
где Г] (E) — эффективность детектора. Так, для счетчика, регистрирующего протоны) отдачи, при некоторых приближениях можно считать г) (E) ~ ~ апр (E)IE (Е — энергия падающих нейтронов).
Таким образом, решение уравнения (П.23) получается дифференцированием амплитудного спектра протонов отдачи:
dA (х) 1 dx т] (х)
(П. 24)
Практическая процедура дифференцирования заключается в построении распределения разности счетов в соседних каналах. Для уменьшения флуктуаций в разности счетов часто производят укрупнение счетных каналов. Распространенной процедурой сглаживания является проведение через несколько соседних точек параболической кривой методом наименьших квадратов. Тогда конечно-разностный аналог производной в і-й точке [dA (x)/dx] = = [2Аі+2 + Ai+! — Ai-i — 2Лг-_2]/10Ах, где Ax — ширина канала; Ai — счет в i-M канале, парабола здесь проводится по пяти смежным точкам.
Необходимо иметь в виду, что та или иная процедура сглаживания не связана с дополнительной экспериментальной информацией и поэтому в строгом смысле не ведет к уточнению восстанавливаемого спектра. Усреднение явных флуктуаций в нем обусловлено сильной корреляцией соседних точек, искусственно вносимых процедурой сглаживания. В том или ином виде процедуру сглаживания с равным успехом можно проводить не до, а после дифференцирования аппаратурного спектра.
Вопрос о сглаживании решения тесным образом связан с вопросом о выборе класса функций, в котором ищется решение. Нельзя не согласиться, что имеется большая свобода этого выбора, и вряд ли могут существовать объективные критерии, предписывающие на этот счет определенные указания. Выше уже рассматривался пример свободного задания количества и расположения узловых точек в подходе алгебраизации. Вопрос о классе функций следует отнести к формулировке физической задачи. Действительно, исследователь сам должен решить, сообразуясь с физическими характеристиками прибора (измерительной установки), в каком виде и как детально он хочет восстановить спектр. При этом еще до проведения экспериментов он может оценить потенциальные возможности прибора. Следует лишь помнить, что более детальное восстановление имеет значительные погрешности, которые могут быть замаскированы процедурой сглаживания, т. е. введением корреляций между соседними точками.
