Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ п. 3. Применение метода наименьших квадратов в задачах восстановления
Необходимо делать различие между математическим решением и решением в смысле статистической теории. Было показано, что рассматриваемая обратная задача некорректна, т. е. не имеет математического решения или имеет бесчисленное их множество. Говоря о решении, уже тогда неявно подразумевали некоторую приближенную оценку по отношению к точной физической характеристике. Таким образом, речь может идти лишь об оценке с погрешностью, и потому строгая физическая задача должна рассматриваться в рамках статистической теории, которая, однако, не представляет собой готовые способы рассмотрения на все случаи, особенно в отношении к задаче восстановления. Уже известно, что способ решения может зависеть от тонкостей формулировки задачи. Не удивительно, что практическая потребность решения этой задачи приводит к множеству алгоритмов, приводящих к решению без ответа на вопрос о его погрешности. Поскольку в основу такого алгоритма обычно положен принцип «минимального отклонения» от экспериментальных данных, результат его действительно может рассматриваться как некоторая статистическая оценка. Однако отсутствие доверительного интервала в этой оценке вынуждает нас по отношению к ней ввести термин грубая оценка, или нестрогая оценка. Нужно отметить, что авторы подобных алгоритмов, понимая серьезность выдвинутого возражения, в качестве аргументов в пользу работоспособности алгоритмов вмдвигают результаты «бумажных экспериментов».
Возникает вопрос"— почему появилась необходимость в разработке каких-либо «нестрогих алгоритмов» при наличии классического метода наименьших квадратов, дающего решение с доверительными интервалами? Причина совершенно ясная: метод наименьших квадратов, традиционно применяемый по отношению к алгебраизоваиной системе линейных уравнений, недостаточно эффективен: во-первых, требует определенной или переопределенной исходной системы уравнений; во-вторых, ничего не говорит об оптимальном выборе узловых точек; в-третьих, он «не справляется» с так называемой плохо обусловленной системой уравнений, т. е. в тех типичных случаях, когда решение допускает рассмотренные выше осцилляции. Следовательно, справедливо говорят, что решение получается нефизическим. Нефизичность, например, проявляется в возникновении отрицательных амплитуд восстанавливаемого энергетического спектра. Именно поэтому появились алгоритмы, в той или иной форме накладывающие физические ограничения на решение, но не указывающие погрешность решения в статистическом смысле. Ниже рассмотрим некоторые из таких алгоритмов, поскольку они находят практическое
514- применение. Укажем также способ опенки погрешности «нестрогого [решения» — способ рандомизации исходных данных. Подчеркнем, что он не снимает проблемы обоснования того или иного алгоритма. Наконеи, рассмотрим решение проблемы восстановления с позиций байесовского подхода. В частности, из этого подхода следует известный метод наименьших квадратов (метод оценки без использования априорной информации). На этом методе применительно к рассматриваемой задаче необходимо остановиться, так как он хотя и приводит во многих случаях к нефизическому решению, но оценка, даваемая в рамках этого метода, — абсолютно строгая с точки зрения статистической теории. Неустойчивость же решения есть объективное проявление недостаточной информативности эксперимента по отношению к спектру в том виде, в каком он восстанавливается. Имеются лишь два и только два способа повысить устойчивость решения: 1) привлечь дополнительную экспериментальную информацию о спектре; 2) изменить форму представления подходящим выборам функций разрешения (чувствительности) восстанавливаемых спектральных функционалов.
Метод наименьших квадратов предполагает, что имеется тщательная оценка погрешностей эксперимента. Под ней в общем случае следует понимать матрицу ошибок D (Л). Вид и свойства этой матрицы вытекают из сбщей статистической теории. Ее диагональные члены представляют собой дисперсии измеренных значений, а недиагональные члены (ковариации) содержат произведения стандартных погрешностей і- и /-величин и множитель, называемый коэффициентом корреляции этих величин Tij'.
где — 1 < rij < 1.
Корреляции возникают из-за множества факторов, отражающих то обстоятельство, что измерения разных величин, например, скорости счета в каналах анализатора, не являются статистически независимыми. Таким образом, матрица ошибок (ее еще называют ковариационной матрицей) учитывает структуру погрешностей набора величин. Однако роль ее шире: она предназначена для учета любых ограничений, делающих измеряемые величины зависимыми, но не нарушающих их гауссовый характер. Так, ограничения типа Fj > 0 изменяют характер распределения случайных величин и поэтому их нельзя учитывать в форме ковариационной матрицы и, следовательно, в рамках традиционного метода наименьших квадратов. В то же время такая процедура как нормировка аппаратурного спектра по плсщади приводит к корреляции, которые легко оцениваются в приближении линеаризации нормировочного преобразования. Так как эта процедура часто используется при обработке спектров, укажем конкретную формулу, связывающую матрицы сшибок нормированных и ненормированных величин. Пусть переход к нормированным величинам а; осуществляется делением на площадь под аппаратурным спектром
