Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
В литературе, посвященной обработке экспериментальных данных, иногда делаются неправильные утверждения об использовании априорной информации, когда под такой понимается наложение ограничений на решение подходящим выбором класса функций. Например, требование положительности решения, заложенное в алгоритме обработки, расценивается как введение априорной информации. Необходимо предостеречь от применения в дан-
517- ном случае подобной терминологии, так как в статистике под априорной информацией понимаются конкретные дополнительные результаты, содержащиеся в каких-либо экспериментах по определению изучаемой физической характеристики (в данном случае, спектра излучения). Сама по себе положительность, или гладкость, или какое-либо другое требование не несет никакой информации о спектре в смысле теории информации или статистической теории. Отсюда, конечно, не следует, что введение подобных математических ограничений на решение, подкрепленных физическими рассуждениями, не является полезным. Напротив, многие алгоритмы обработки различаются экономией машинного времени и формой представления результатов, учитывающей специфику данного круга задач, именно за счет введения таких ограничений. Нельзя не отрицать тот факт, что при этом устойчивость решения может действительно повыситься ценой дополнительных связей (корреляций), приемлемых с физической точки зрения. К сожалению, эти алгоритмы обычно составлены таким образом, что матрица сшибок решения в рамках самого алгоритма не получается. Кратко рассмотрим идеи нескольких таких алгоритмов со специальными выборами класса функций, в котором ищется решение. По существу речь идет о требовании определенной степени гладкости решения, которое можно выразить различными способами.
Аппроксимация искомого спектра линейной комбинацией функций. В методе ортонормального разложения искомый спектр представляется в виде:
/(E)-VBft^fe(E)1 (П.25)
k
п
где ij'ft (E) = 2 Ckiki (E) с условием о] тогональнссти: /=1
OO
j Vk (E)^i(E) с!Е = 8ы] (П.26)
о
Sfti — известный символ Кронекера; it — число измеренных величин Л; с линейно независимыми функциями fc; (E).
Элементы треугольной MaTpHLbi cfe; определяются условием (П.26), а коэффициенты Bji можно Еыразкть через Chi и А г, используя выражение для At. В результате f (E) ~ 2 Л;с;Д7 (E).
і, і
Можно показать, что этот метод дает приближение в смысле среднеквад-
оо I п J
ратичного минимума: min J (E) — 2 W5г (E)J2J dE. Были предложены
различные модификации метода ортонормального разложения, а также способы приближенного решения на основе неортогонального разложения.
Итерационный способ восстановления спектра. Для восстановления спектра излучения из показаний эксперимента было предложено много итерационных алгоритмов. В качестве примера рассмотрим алгоритм, предложенный М. 3. Тараско. Идея состоит в следующем:
Пусть система уравнений
Ai='S] Kij Fj (П.27)
і
содержит нормированные по сумме величины Ai и Fj. Такую нормировку всегда можно произвести формально. В ряде задач она следует из физического смысла. Например, Kij может интерпретироваться, как условная вероятность появления события Xit если событие Уі наступило. Вероятность событий Xi и Уі соответственно Ai и Fj. В примере спектрометра событие yj — вылет час-
518- тицы с энергией, заключенной в энергетическом интервале около Ej, событие Xi — регистрация пмпульса в і'-м канале. Тогда нормировка вероятностей п п п
Ai = Ki1 = I; ? Fj = 1, причем Kij > 0; Fj ^ 0; Ai > 0; п — чи-
сло экспериментальных величин At\ т — число групп, задаваемых для восстановления.
Воспользуемся формулами для полной и условной вероятностей
I т
Kii = KnFl / 2 Kij Fj. / / = I
Подставляя (П.28) в (П.27), получаем
Fi
V
» = 1
AiKuFi / V KijFj
I /--і
(П. 28)
(П.29)
Процесс последовательных приближений теперь строится следующим образом:
г = 1
і т
AiKa / S KiiF/ І /=і
(П. 30)
где S — номер итераций.
Доказывается сходимость этого процесса к единственному решению для заданного начального приближения. Особенность алгоритма состоит в возможности восстанавливать положительное решение в произвольно большом числе групп, независимо от числа экспериментальных значений. В этом нет ничего удивительного, если вспомнить о роли корреляции в решении, вносимой ограничениями. Очевидно, и в данном случае восстанавливаемые значения не являются независимыми. Однако матрица корреляций (или ковариаций) решения в данном алгоритме, как и во многих других, не появляется и не может появиться, так как при выводе формул нигде не фигурируют погрешности экспериментальных значений.
Нетрудно видеть, что параметр гладкости решения в этом и других итерационных алгоритмах — число итераций. Обычно процесс итерирования продолжают до тех пор, пока расхождения оценок Ai по результату восстановления и экспериментальных результатов становятся сравнимы с некоторой средней погрешностью измерений.
Регуляризация по Тихонову. А. Н. Тихонов ввел понятие регуляризации решения некорректной задачи. Под этим понимается сведение ее к корректной задаче таким образом, чтобы решение, зависящее от некоторого параметра а, устремлялось к истинному решению исходной некорректной задачи при а -* 0 и стремлении к нулю погрешностей в интегральном уравнении (П.П.
