Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Регуляризация практически эквивалентна сглаживанию решения. Требование гладкости здесь можно сформулировать различными способами, например, как ограничение на вторую производную решения. Тогда задача формулируется следующим образом:
шіп |e2+aj' If" (E)Pdfij, (П.31)
где a — множитель, определяемый из критерия, о котором уже говорилось в связи с выбором числа итераций в итерационном методе; є2 — определяется формулой (П. 19).
519-Функционал, содержащий множитель а, можно представить в копечно-п.— 1
разностном виде a 2 [Fi+f— 2Fi + Fi-її2. Тогда решение в матричном і=2
виде получается аналогично решению в методе наименьших квадратов:
F = [KtD(A)-1 К+ YQ]-1 Kt D (A)-1A, (П.32)
где у — параметр регуляризации, выраженный через a; Q — «сглаживающая» матрица
2 10 0 5—4 1 0 ... \ 4 6—4 1 ... І 1—4 6 —4 ...
При Y=O решение (П.32) совпадает с «осциллирующим» решением в методе наименьших квадратов. С ростом Y решение приобретает большую устойчивость, однако теряется представление о его погрешности в смысле метода наименьших квадратов. Несмотря на это, идея регуляризации нашла широкое практическое применение в разнообразных физических и технических задачах. Что не менее важно, эта идея заставила по-новому взглянуть на так называемые некорректные задачи в математике. В последнее время развиваются так называемые методы статистической регуляризации. Рассматриваемый ниже байесовский подход является примером статистической регуляризации.
Способ рандомизации для оценки погрешностей решения. Если алгоритм восстановления спектра требует малые времена ЭВМ, го для оценок погрешности решения (матрицы ошибок) можно воспользоваться способом рандомизации или способом раскачки исходных данных. Это означает, что спектр восстанавливается многократно со случайной вариацией исходных данных в соответствии с их гауссовым распределением. В принципе, случайной вариаци можно подвергнуть и ядро интегрального уравнения, если имеется погрешность в характеристиках спектрометра. Матрица ошибок решения вычисляется в соответствии с ее определением:
D(F)ij = (HN) 2 (Fl-Ii) (Fkj-Fj), k= і
_ N
где Fi =(UN) 2 Fk:', N — достаточно большое число расчетов по восстановле-k=i 1 ґ нию. Практически N ~ 50 достаточно для этих оценок.
Подчеркнем здесь следующее: какая имеется необходимость в матрице ошибок решения? Ведь для построения традиционного коридора ошибок в. спектре достаточно знать лишь дисперсии Fj. Ответ состоит в том, что пред ставление о коридоре ошибок недостаточно. Нас интересует погрешность некоторого результата усреднения по восстановленному спектру, т. е. линейная комбинация вида^crF. Тогда дисперсия этой комбинации о2 (CtF) = crD (F)C и корреляции в F существенно влияют на эту дисперсию.
Байесовский подход. В последние годы все большее значение приобретает байесовский подход, т. е. использование (при получении оценок F) априорно» информации о рассматриваемом наборе (векторе) величин F. В статистике под априорной информацией понимаются результаты всех прошлых экспериментов, имеющие отношение к данному набору и характеризуемые средним значением и дисперсией. Таким образом, речь идет о введении статистических ограничений на решение, а не математических, например, положительности гладкости, монотонности и т. д. Тем самым задача ставится не как переход «от незнания к знанию», а как уточнение предыдущих знаний.
520-Средством для выражения статистических ограничений является априорная матрица ошибок восстанавливаемого спектра D0 (F). Для ее оценки требуется анализ прошлого эксперимента. Очевидно, новый эксперимент даст уточнение F, которое проявляется в уменьшении объема эллипсоида рассеяния для F, т. е. в уменьшении детерминанта новой матрицы ошибок D (F). Логарифм отношения детерминантов до и после эксперимента дает количественную меру информативности этого эксперимента относительно F. Следует сказать, что результаты, данные здесь, справедливы не только по отношению к анализу спектра излучения, но сохраняются и для интерпретации любого физического эксперимента в приближении линейных оценок. Однако для конкретности по-прежнему будем говорить о восстановлении спектра излучения.
Для описания математического формализма в этом подходе при решении задачи KF = А введем следующие матричные обозначения:
F — априорная оценка спектра (групповые потоки, значения которых предстоит уточнить по результатам спектрометрического эксперимента);
бF — вариация априорного спектра;
A A = A — KF — расхождения измеренных в спектрометрическом эксперименте величин А с рассчитанными по априорному спектру F;
Dо (F) — матрица ошибок априорного спектра;
D (.4) — матрица ошибок результатов спектрометрического эксперимента;
К — матрица, характеризующая ядро интегрального уравнения (1).
Далее формулируется принцип максимума функции правдоподобия совместно по отношению к оценкам F, А.
шах {const ехр l — (oFTD0(F)-i SF)/2 + 8AT D (А) 8А]}, (П.33)
здесь 8А = AA — /(SF = А — К (F ^ бF), откуда можно получить решение задачи: