Основы экспериментальных методов ядерной физики - Абрамов А.И.
Скачать (прямая ссылка):
510- В большинстве физических задач рассматриваемого типа существование, единственность и непрерывная зависимость искомой функции от исходных данных следует из самого физического смысла. Однако математическое решение уравнения (П. 1) может не существовать совсем или существовать не для всякой правой часги. Такие формальные примеры легко построить. Погрешности в описании функций А (х) или К (х, Е) могут привести к невозможности точного решения уравнения, т. е. к указанной некорректности. Не менее важной и принципиальной является некорректность обратной задачи, связанная с возможностью множества решений. Действительно, пусть функция разрешения прибора К. (х, Е) и аппаратурный спектр А (х) известны точно. Очевидно, что при плохом разрешении тонкая структура первичного спектра / (E) никак не проявляется в аппаратурном спектре и принципиально нельзя восстановить эту тонкую структуру, исходя из А (х). Можно претендовать лишь на отыскание решения f (E), некоторым образом сглаженного по сравнению с истинной функцией f (E), которая также является решением (П.1).
Возможность неединственного решения обусловливается также наличием нетривиальных решений однородного, т. е. с нулевой правой частью, уравнения (П.!). Простейшим физическим примером, поясняющим смысл этих решений, является электронный усилитель. Если сигнал на входе усилителя содержит часть спектра частот, лежащую вне полосы пропускания, эта часть спектра дает нулевую реакцию на выходе усилителя и оказывается «потерянной» для наблюдателя.
Частотную интерпретацию можно сохранить при рассмотрении любой физической задачи, формулируемой в виде (П.1), если произвести фурье-преобразование этого уравнения. Такое представление полезно в том отношении, что оно способствует пониманию проблемы, к которой мы подошли,— проблемы устойчивости решения. Действительно, практически всегда существующий «шумовой эффект» и подавляемая прибором (в силу ограниченности полосы пропускания) ВЧ-компонента сигнала слабо отличаются друг от друга на выходе прибора. В то же время такая компонента на входе прибора весьма интенсивна и поэтому существенна для описания исходного спектра. Качественно это означает, что решение (П.1) тем устойчивее, чем сильнее оно «сглажено». Пример параметра гладкости — выбираемая по желанию граница обрезания верхних частот на выходе прибора. Трудно сказать что-либо определенное о том, каков должен быть компромисс между «физичностыо» решения и его устойчивостью к погрешностям исходных данных. Ясно лишь то, что при получении детального решения следует быть готовым к математическим осцилляциям (неустойчивости), а чрезмерное требование гладкости устремляет решение к тривиальному виду f (E) = const. Ниже рассмотрим некоторые способы получения сглаженного или регуляризованного решения. Очевидно, одним из таких способов является представление искомого спектра в параметрическом виде, выбираемом из физических (теоретических) соображений. В этом случае задача становится сравнительно простой. Нас же будут интересовать случаи, когда параметрический вид искомого спектра заранее нензвестен.
Естественно свести (П.1) к системе линейных алгебраических уравнений, что эквивалентно представлению искомого спектра в виде ступенчатой кривой с более или менее подробным групповым разбиением А Еу.
A(Xi) = ^iK (XI, Ej) f (Ej)Mj. (П.2)
/ -----
Интегральное уравнение, записанное в таком виде, казалось бы, говорит о том, что нужную точность восстановления спектра можно обеспечить, если к функциям А (х) и К (х, Е) предъявить достаточно жесткие требования по точности и подробности узловых точек (xi, Ej). В действительности, переход от непрерывного спектра* f (х) к формально дискретному виду (конечно-
* В случае линейчатого спектра f (E) = Sa1-S (Е — Ei) задача восста-
/
новления упрощается, если известны положения линий.
511- му набору значений) далеко не тривиален. В этом переходе содержатся все основные черты, отражающие противоречие между детальным описанием явления и недостаточностью средств его наблюдения. Рассмотрим вопрос, связанный с алгебраизацией (П.1), более подробно. Для удобства запишем систему уравнений (П.2) в виде:
Ai=^iKiiE1) F E(Ej)t (П.З)
где F (Ej) — средний поток излучения в /-M энергетическом интервале; Ki (Ej) — соответствующее среднее значение ядра интегрального уравнения -JL.(xit EJ . Ki (E).
По определению
F(Ej) = (l/bEj)$t(E)dEl (П.4)
Ki(Ej) = (IIAEj) j Ki (E) f (E) d?/(l/A?,)J f(E)dE. (П.5)
АЕ. Д Ej
Заметим, что при переходе от (П.1) в интегральной форме к системе уравнений (П.З) не сделано никаких приближений. Но величины Ki (Ej) точно не известны из-за их зависимости от неизвестной функции внутригруппового усреднения. Значения Ki (E) в точке Ej сколь угодно мало отличаются от средних по интервалу AEj, если ширина этого интервала выбрана достаточно малой. Это говорит о возможности предельного перехода от дискретного описания, т. е. гистограммного представления спектра, к непрерывному. Однако это совсем не означает, что переход от (П.1) к (П.2) или (П.З) обеспечивает исчерпывающее решение задачи. Говоря о решении, в это понятие вкладывается пока что интуитивный смысл. Он заключается в том, что нужно каким-то образом разрешить систему уравнений (П.З). Поскольку известно, что сформулированная в общем виде задача не имеет однозначного математического ре. шения, то следовательно, имеется в виду некоторое «квазирешение» системы уравнений, устраивающее нас в каком-то смысле. По сути дела предстоит договориться, что будем называть решением. Пока лишь отметим, что в силу ли нейности уравнений (П.1) или (П.З) решение в любом случае будет представлять собой некоторую линейную комбинацию измеряемых величин
