Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Pst(-m,-n) = P„(m,n). (4.78)
Аналогично, можно показать, что каждому решению (m(t), n(t)) уравнения квазисредних (4.58) и (4.59) с параметрами тренда (4.69) принадлежит еще одно решение:
(m"(t), n"(t)) = (- m(t)t -n(t)). (4.79)
В антисимметричных случаях (т. е. сценарии 3 и 4) с параметрами тренда (4.70) имеем интенсивности перехода
(т, п) = V(N - то) ехр {(um — an)}, (4.80)
w^(m, п) = V(N 4- га) ехр {-(/era - an)}, (4.81)
140
Миграция населения
Глава 4
wv(то, п) = v(N - п) ехр {(am 4- кп)}, (4.82)
w\(m, п) = v(N + п) ехр {-(am 4- кп)}. (4.83) Они удовлетворяют не только (4.75, 4.76), но и
w^(n, -т) = wv(m, п), (4.84)
w^(n,-т) = wv(m,n), (4.85)
wv(п, -т) = w^(m, п), (4.86)
W|(n, —m) = w+(m, п). (4.87)
Поэтому основное уравнение остается инвариантным при двух заменах (т,п) -+(т',п') = (п,— т) и (т, п) —> (т", п") = (-то, -тг). Соответственно, стационарное решение Pst{m, п) должно удовлетворять условию симметрии
Pst(n, -то) = Pst(-m, -п) = Pst(-n, то) = Pst(m, п). (4.88)
Аналогично, для решения (m(t),n(t)) уравнений квазисредних существуют решения:
(m'(t),n'(t)) = (n(t),-m(t)), (4.89)
(m"(t), n"(t)) = (- rh(t), -ft(*)), (4.90)
(^"(i), = (-A(i), m(t)). (4.91)
Конкретные сценарии и их интерпретации
Мы начнем с предварительных замечаний.
Форма графиков для всех сценариев не зависит от числа 2N = 2М членов популяций Vv или V^, если параметры тренда
kvv, K?V, hv,fi заданы. В противоположность этому, стационарные распределения вероятностей зависят от величин 2N = 2М. Чем выше 2N, тем «острее» их максимум.
Мы используем относительно небольшое число 2N = 2М = 80 и делаем это для иллюстративных целей, так как тогда структура распределений оказывается лучше видимой. Существует более
141
Демография Часть ТТЛ
Рис. 4.1. Параметры к = 0,2 и <х = 0,5
важная причина использования небольшого числа 2N = 2М = 80: интенсивности перехода зависят только от количества членов взаимодействующих популяций. Если их численность невелика, то дисперсия соответствующих распределений намного больше, чем в целой популяции.
Сценарий 1
Параметры тренда: #^ = ,^ = ^ = 0,2 и #" = ,^ = -^ = -0,5,
(к - 1) = -0,8 < 0; р = а2 = 0,25 < (к - I)2 = 0,64. (4.92)
В этом случае стационарная точка (0, 0) устойчива, что иллюстрирует рис. 4.1 а. Собственные значения A+ и А_ вещественные.
142
Миграция населения Глава 4
Интерпретация сценария 1
Рис. 4.1 а показывает эволюцию квазисредних (х(т),у(т)) в терминах траекторий уравнений (4.58, 4.59). Стационарная точка (0,0) описывает однородное смешивание обеих популяций V? и Vу в обоих регионах 1 и 2, и все траектории сходятся к этой точке. Мы заключаем, что под воздействием низких внутренних агломеративных тенденций и низких взаимных сегрегационных тенденций однородность смешивания достигается и остается стабильной.
Рис. 4.16 показывает для этих же параметров стационарное распределение вероятности, которая имеет максимальное значение в точке (т, п) = (0,0). Тем не менее, распределение населения при (га, п) Ф (0, 0) тоже возможно, но с более низкой вероятностью. Ширина распределения зависит от выбранной численности 2N = 2М = 80.
Сценарий 2
Параметры тренда R^ - Kvv = л = 0,5 и R^ — кУ(1 = -9 = -1,0.
(R-I) = -0,5 < 0; р = д2 = 1 > (R - I)2 = 0,25. (4.93)
В этом случае стационарная точка неустойчива, что подтверждается рис. 4.2 а. Собственные значения A+ и А_ — вещественные.
Интерпретация сценария 2
Рис. 4.2 а показывает, что уравнения квазисредних имеют сейчас два стабильных стационарных положения во втором и четвертом квадранте, и что нулевая стационарная точка стала нестабильной. Все траектории сходятся к стабильным стационарным точкам. Последние характеризуют «ситуацию гетто», где большинство одной популяции агломерируется в одном районе, а большинство другой популяции — в другом районе.
Рис. 4.2 6 показывает, что популяции сосредотачиваются около стационарных точек с максимальной вероятностью. Точка
143
Демография Часть ILl
а) 1 0,5 У 0 -0,5 -1
-1 -0,5 О 0,5 1
б)
Рис. 4.2. Параметры к = 0,5, a — 1,0
однородного популяционного смешивания имеет очень низкую вероятность.
Сценарий 3
Параметры тренда R^ = RVV = R = 0,5 и RUfX = -k?v = а = 1,0.
(к-1) = -0,5 < 0; р =-а2 =-К (R-I)2 = 0,25. (4.94)
В этом случае стационарная точка (0, 0) устойчива, что подтверждается рис. 4.3 а. Собственные значения X+ и А_ — комплексные.
Интерпретация сценария 3
Рис. 4.3 а. Сильное асимметричное (Rfv = -RUfi) взаимодействие между популяциями Vі* и Vй означает, что Vі старается
144
Миграция населения
Глава 4
Рис. 4.3. Параметры к = 0,5, = -1,0 и к"* = +1,0
жить отдельно от популяции Vу, в то время как популяция Vу старается жить вместе с популяцией V^.
Агломерационный тренд R^ — Rvv = R принимает средние значения, для которых точка (0,0) на рис. 4.3 а остается стабильной.
Рис. 4.3 6 показывает унимодальное стационарное распределение вероятности с колебаниями около стабильной точки (0, 0).
Сценарий 4
Параметры тренда R?? = Rvv = ? = 1,2; RUfl = -R^ = a = 1,0. (R - 1) = 0,2 > 0; р = -er2 = -1 < (я - I)2 = 0,04. (4.95)
