Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
Как следует из предыдущего параграфа, для функционирования модели необходимо иметь значения ее параметров. Обычно для этого используются реальные данные и методы предшествующих (проведенных) анализов. Такие процедуры хорошо известны. В частности, они использовались для сравнения гравитационной и данной модели.
Наша специфическая процедура состоит из двухэтапного регрессивного анализа.
157
Демография Часть ILl
На первом этапе определяются ежегодные значения региональных полезностей uf(t) и мобильностей vfi(t) — vfj{t) по реальным миграционным данным.
На втором этапе определяются регрессионные зависимости полезности и мобильности от социально-экономических факторов.
4.5.1. Определение региональных полезностей и мобильностей по реальным данным
В табл. 4.1 приведены реальные данные, касающиеся межрегиональной миграции между С регионами и региональной рождаемости и смертности. Эти данные обычно регистрируются в стране с интервалом Ar в один год. Если информация о субпопуляциях Vа отсутствует, то индекс а опускается.
В табл. 4.1 (т) обозначает количество мигрантов из региона і в регион j за год (поток миграции), ги^(т), ги^(т) — количество рождений и смертей за год. Поэтому должен выполняться следующий баланс между п^\т) и п^\т + Ar) при Ar = 1:
п<е)(т + Ar) - ^)(T) nf(t + 1) - «{'У) =
Ar 1
с с
=ЕЧ'м - E 4:V)+»{?(r) - »{u(r). (4.116)
Легко заметить, что уравнения (4.116) похожи на уравнения квазисредних (4.17), если рассматривается только одна однородная популяция, если смертность-рождаемость исключить.
Здесь предполагается, что интенсивности перехода, которые выше были представлены в виде
wji(т) = Ui(t)PJi(т) = щ(т) ¦ vji(т) ¦ ехр {Uj (т) - щ(г)}, (4.117)
158
Таблица 4.1
Ежегодные данные межрегиональной миграции и региональные показатели рождаемости и смертности однородного населения в С регионах
Регион назначения Популяция назначения Количество мигрантов в период времени [г, г + 1] из региона происхождения в регион назначения Рождаемость в [r, r + 1] в регионе Смертность в [г, г + 1] в регионе
J 2 »'*<г) »<"(т) «#(т) • »ё(г) • »g(r) «?V) »?V) «?V)
3 nf (г) • «}?(r) .. • «jg(r) •?-V)
С nf\r) wc\(t) ¦ . ••
Местное население nf\r) п?(т) . • nf(t) .. 4V)
Регион происхождения 1 2 і C
Демография
Часть ILl
должны быть идентичны потокам миграции ги^(т), и численность населения щ(т) в регионе г идентична реальной численности
Тем не менее, не является очевидным, что реальные величины (т) могут быть представлены в форме (4.117), потом\ что последняя предполагает зависимость только от полезностей начального региона и региона назначения, а не от полезностей всех регионов.
Это также можно увидеть посредством подсчета количе-ства реальных интенсивностеи переходов Wy(t) и количества межрегиональных мобильностей Vji(r) = Vij(r) и полезностей [uj(t) - щ(т)] идя С регионов и T годов. Здесь существуют
C(C —I)-T реальных интенсивностеи W^ (т), С^С2~^ ¦ T мобильностей Vji(t) = Vij(т) и (С - I)-T межрегиональных полезностей [uj(t) — щ(т)]. Различие между количествами реальных величин и теоретических параметров составляет
которое положительно для С > 2 и T ^ 1. Поскольку в конкретных задачах имеется реальная статистика за некоторый интервал времени, больший единицы, то для определения оптимальных полезностей и мобильностей в (4.117) можно применить метол наименьших квадратов.
Введем показатель качества аппроксимации реальных данных модельными (4.117):
C(C-I)-T
(С + 2)(С-1)
2
т
с
т=1 *,/=!
160
Миграция населения
Глава 4
при условиях симметрии передвижений
Vkl(T) = VIk(T)
и нормированности полезностей с
^w;(r)=0 для T = 1,2, ...,Т.
(4.120)
(4.121)
Задача определения оптимальных мобильностей и полезностей сводится к минимизации F(u,u) при ограничениях (4.120) и (4.121). Используя метод Лагранжа, получим
T ,с
^=E E
-44^ ог*,-(т)
=i ^ i=i L п '
8F
+
El
Х(т)
OF
6щ(т) + OF
+
_oi/,j(r) ol/ji(r).
(г) j
0.
(4.122)
Здесь ограничения (4.119) и (4.120) учитываются множителями Лагранжа А(т) и вариациями 6и^(т) = 6и^(т). Поскольку вариации ощ(т) и 6и^(т) — независимы, то условие (4.122) выполняется, только если:
OF
—— + Ar) = 0;
дщ(т) (4.123)
для « = 1,2, ...,С; и г = 1,2, ...,T
dF OF
+
0;
dVji(T) диф) (4.124)
для г',;'= 1,2,..., С; где i^j и т=1,2,...,Т. Используя (4.119), получаем
- = ]Г ' 2 {Jn [^(г)] ¦f [іц(г) - ик(т)} - In ^;>(т)] -
dF
дщ{
к=1
161
Демография
Часть II. 1
- In Wi(T)] + [щ(т) - ик(т)} + In [р?>(т)]} =
=E' 4I Мт> - м*^)1 - \]п HHl I (4Л25)
L_1 ^ LWr- (T) J X
oi/j,-(r)
—-{in Ыт)] H- [«,¦(r) - «,(г)] - In \р$(т)] },
(4.126)
где используется индивидуальные интенсивности перехода
(4.127)
Условия (4.123) и (4.124) для оптимального щ(т) и і^-(т) теперь приобретают форму:
С С .Г Ie)1
^'ЦЫт)-ик(т)]-~Ы к=і I
А(г)=0. (4.128)
Или, учитывая условие симметрии 1/^(т) = ь>ы(т), получим:
{in [4(т)] - In [pV(T)p$(T)] } = 0. (4.129)
Суммируя уравнение (4.128) по і = 1, 2,... , С, определим множитель Лагранжа А(т):
