Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
145
Демография Часть П. 1
Стационарная точка (0,0), в соответствии с (4.68) — нестабильная, что подтверждается рис. 4.4 а. Собственные значения A+ и А_. комплексные.
Интерпретация сценария 4
Рис. 4.4 а характеризует миграционный процесс, который никогда не будет завершен, и наоборот, приближается к предельному циклу. Если процесс начинается, например, в квадранте 1, т. е. большинство и Vу живет в районе 1, тогда желает проникнуть в район 2, незаполненный Vу из-за его сегрегационного тренда, и закрепиться здесь, вследствие его высокого агломерационного тренда. Это означает, что траектория квазисредних проникает в квадрант 2. Однако теперь население Vу хочет вторгнуться в район 2, где живет V?, вследствие его агломерационного тренда. В итоге большинство Vу также оседает в районе 2. Это означает, что траектория достигла квадранта 3. Здесь процесс бегства-вторжения повторяется, и траектория перемещается в квадрант 4, затем в квадрант 1 и так далее. Либо обе популяции живут вместе (квадранты 1 и 3); тогда Vу желает вторгнуться в район, не заполненный Vу \ либо обе популяции живут раздельно (квадранты 2 и 4); тогда Vу хочет вторгнуться в регион, где живет .
Рис. 4.4 б содержит дополнительную информацию. Четырех -модальное стационарное распределение вероятности имеет точки максимума во всех четырех квадрантах. Это означает, что между квадрантами существуют метастабильные состояния, несколько более продолжительные, чем транзитные состояния между ними. Рис. 4.4 в показывает типичную стохастическую траекторию в этом случае.
Заключение
Четыре рассмотренные выше сценария показывают, что здесь могут возникнуть, по крайней мере, три принципиально различных миграционных ситуаций или «фаз»:
146
Миграция населения Глава 4
у
-0,5 -1
-1 -0,5 0 0,5 1
-8Ot-,-,-,-,-,-,-,-J
-80-60 -40-20 О 20 40 60 80
Рис.4.4. к = 1,2, кГ = -1,0 и = +1,0
147
Демография Часть II. 1
1. Однородное смешивание обеих популяций V? и Vу в обоих регионах.
2. Гетто-образование, т. е. более или менее полное разделение популяций Vі и Vу.
3. Бесконечное «проникновение-вторжение-миграиия».
Если принять параметры тренда R?ti, Ryb\ R?y, Ry? не как константы, а как медленно изменяющиеся переменные, то при пересечении ими критических значений в миграционной системе происходит соответствующий фазовый переход.
4.4. Детерминированный хаос в миграционных системах
Интенсивные исследования, проведенные в последние десятилетия в естественных и социальных науках, показали, что во многих сложных системах проявляется феномен так называемого детерминированного хаоса. Это означает, что траектории нелинейной системы приобретают крайне сложное поведение, которое ограничивает предсказуемость такой системы.
Траектории такой системы «притягиваются» к особому предельному множеству, называемому «странным аттрактором». Особенность его состоит в том, что траектории заполняют его всюду плотно, т. е. ни одна из них не возвращается ни в какую точку. Тем не менее, эволюция таких «хаотических траекторий» является полностью детерминированной.
Существование хаотических траекторий является одним из признаков сложности системы. С другой стороны, сложность социальных систем не вызывает сомнений. Поэтому возникает естественный вопрос — существуют ли в дифференциальных уравнениях, описывающих социальные процессы, как, например, в миграционных уравнениях (4.18), хаотические решения или странные аттракторы. Для настоящей модели этот вопрос исследуется в нескольких работах [17]-[20].
148
Миграция населения
Глава 4
В этом разделе мы покажем, что миграционные уравнения действительно имеют хаотические решения, если количество переменных более 3.
Запишем уравнения (4.18) в форме
"It:': <«»
где
с
Ff (п) = ехР KW - «?(»)} - < ехр {«J(Ii) - <(п)}'
(4.97)
Здесь немного изменена система обозначения nf nf и мобильность
i/g = vfi=v. (4.98)
Для дальнейшего введем соответствующие относительные переменные
х'=с№' где ^а = E= const' (4-99)
»¦=1
и запишем функции полезностей в форме
P
«?(n) = X)^ + *f. (4.100)
/3=1
Очевидно, что для эквивалентных регионов
Af = O (4.101)
однородное распределение
й? = ^-; xf = l; Ff(Ti) = O (4.102)
является стационарным решением (4.96).
149
Демография Часть II. 1
Введем некоторые понятия, необходимые для характеристики детерминированного хаоса.
Рассмотрим бесконечно малый элемент объема AV в (P ¦ С)-мерном конфигурационном пространстве вокруг точки n"(t). Легко доказать, что временная эволюция AV описывается следующим дифференциальным уравнением:
1 dAV sl^y^dF"
---= DivF = V V —(4.103)
AV dt дпа /
Если
Div F < О (4.104)
в некоторой области D, система определяется как диссипативная в D. Если начальные точки выбраны в объеме AV(t = 0), то все траектории, выходящие из этих точек, при t —*• оо асимптотически стремятся к множеству внутри конфигурационного пространства, объем которого равен нулю. Это асимтотическое множество определяется как аттрактор.
Миграционная система оказывается диссипативной системой для принятых значений параметров тренда.
