Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках - Вайдлих В.
ISBN 5-354-00808-5
Скачать (прямая ссылка):
— = sh (кх + к^у) -xch (кх 4- ії^у), (4.58)
— = Sh (к ^x + Ry)-у Ch (кР(іх 4- ку). (4.59) dr
Дальнейшее исследование данной модели строится на изучении свойств решений уравнений квазисредних (4.58) и (4.59) и основного уравнения (4.41).
4.3.2. Анализ устойчивости линеаризованной системы
Очевидно, что точка (х, у) = (О, 0) является стационарной для уравнений (4.58) и (4.59). Однако возникает вопрос, является ли она устойчивой или неустойчивой.
136
Миграция населения
Глава 4
Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим линейное приближение правых частей уравнений (4.58) и (4.59), полагая, что отклонения от стационарной точки (0,0) малы. Получим следующие линейные дифференциальные уравнения:
^- = (Я-1)х + к^у, (4.60)
ат
= кП*х + (к-1)у. (4.61)
dr
Решения этих уравнений можно представить в виде:
х(т) = X0 ехр {Xt}, у(т) = уо ехр {Xt}, (4.62)
где Л — корни характеристического полинома: (к-1)-Х k?v kufl (A-I)-A
Решение уравнения (4.63) имеет вид:
X± = (h-\)±yfp, с P = KrH?11. (4.64)
= 0. (4.63)
Из формы решений (4.62) следует, что стационарная точка (0, 0) будет устойчивой, если вещественные части обоих корней Л+ и Л_ будут отрицательными:
Условие устойчивости (0, 0):
Re (Л+) < 0 и Re (Л_) < 0, (4.65)
Условие неустойчивости (0,0): Re (A+) > 0 и/или Re (Л_) > 0. (4.66)
Переходя к параметрам уравнений, получим:
Условие устойчивости (0,0):
к < 1 и р < (к - I)2 (4.67)
137
Демография Часть ILl
и
Условие неустойчивости (0,0): R > 1 и/или р > (R - I)2. (4.68)
Эти условия имеют некоторые социологические объяснения. Если агломерационный тренд R внутри и Vй меньше 1, и если одновременно агломерационные/сегрегационные тренды между и Vу имеют либо различные знаки (так что р — jtfv~v\i ^ или являются достаточно слабыми (так что р < (R -I)2), однородное распределение является стабильным. Небольшие значения R и р являются индикаторами небольшой социально-культурной дистанции между и Vv.
Если, с другой стороны, агломерационный тренд R внутри и Vу выше 1, или сегрегационные тренды R^ < 0, Rl,fi < 0 (так что р = RPuRUfi > (R- I)2), однородные распределения и Vй становятся нестабильными и начинается сегрегационный процесс. Очевидно, большие значения R и/или р, необходимые для этого случая, являются индикаторами высокой социокультурной дистанции между и Vй.
4.3.3. Моделирование сценариев
Анализ стабильности не является достаточным для более подробного исследования поведения миграционной системы. Поэтому мы представляем несколько характерных сценариев. Каждый сценарий описывается набором параметров
Результат моделирования представляется двумя диаграммами а и Ь. Диаграмма а представляет эволюцию средних потоков, а диаграмма b представляет стационарное решение основного уравнения. Для последнего сценария добавлена диаграмма с, показывающая типичную стохастическую траекторию.
138
Миграция населения
Глава 4
Для первых двух сценариев выбраны симметричное и сегрегационное взаимодействие между V** и Vу
&у = = ще - > 0
Параметры тренда в первом сценарии удовлетворяют условиям (4.67), так что однородное распределение (xst,yst) — (0,0) является стабильным. Параметры тренда во втором сценарии удовлетворяют (4.68), для которого (xst,yst) — (0,0) является нестабильным.
Условия симметрии (4.69) обеспечивают выполнение условий детального баланса, так что стационарное решение основного уравнения имеет аналитическую форму (4.47).
Для сценариев 3 и 4 выбраны антисимметричные взаимодействия между и Vv
к111' = — a (сегрегативное),
к? ^ = -ь<т (агломеративное), ^
где о > 0.
Параметры тренда в третьем сценарии удовлетворяют условиям (4.67), так что (xst,yst) = (0,0) является стабильным, в то время как параметры четвертого сценария удовлетворяют (4.68), так что (xst, у st) = (0, 0) является нестабильным. Условия (4.70) нарушают детальный баланс, так что в этом случае не может быть сконструирована аналитическая форма стационарного решения основного уравнения.
Строго симметричный или строго асимметричный выбор параметров тренда является одним из возможных вариантов. Мы выбрали их для большего удобства, так как в этих случаях основное уравнение и уравнения квазисредних удовлетворяют определенным соотношениям симметрии, упрощающим их решение.
Прежде чем перейти к обсуждению конкретных сценариев, рассмотрим отношения симметрии.
139
Демография Часть IL 1
В симметричных случаях (т. е. сценарии 1 и 2) с параметрами тренда (4.69) имеем интенсивности переходов следующего вида:
(т, п) = V(N - га) ехр {(ш - an)}, (4.71)
W1I(Tn, п) = v(N + га) ехр {-(ш - от)}, (4.72)
wu(m, п) = - п) ехр {(-crra + кп)}, (4-73)
ги* (то, n) = i/(iV 4- п) ехр {-(-сгга 4- асп)}, (4.74)
которые удовлетворяют дополнительным условиям
w^(—m, -п) = (т, п), (4.75)
w\(—га, —п) = wv(m, п). (4-76)
Вследствие (4.75, 4.76), основное уравнение (4.41) остается инвариантным при замене (га, п) —+ (ra', n') = (—га, —п). Это означает, что
Р(га, п; t) = Р(-га, -n; і) (4.77)
удовлетворяет тому же основному уравнению, как и P(га, п; t). Так как оба решения P(m,n;t) одного и того же основного уравнения достигают одного и того же единственного стационарного решения Pst(m, п) при t оо, последнее должно быть симметричным
