Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
9. — Далее,— продолжал Мак-Каллох,— всегда ли для заданного числа А существует некое число У, которое порождает ассоциат числа А У? Существует ли, например, число, которое порождает ассоциат числа 56 У, и если это так, то что это за число?
10. — Еще один интересный факт,— сказал МакКаллох,— заключается в том, что существует некоторое число N. которое порождает двойной ассоциат самого себя. Можешь ли ты найти это число?
11. — Кроме того,— сказал Мак-Каллох,— для любого заданного числа А существует число X, которое порождает двойной ассоциат числа АХ. Не мог бы ты сообразить, как найти такое число X, если число А нам задано? К примеру, как найти число X, которое порождает двойной ассоциат числа 78Х?
А вот еще несколько задач, с которыми Мак-Каллох познакомил в тот день Крейга. (За исключением пос-
117
леднеи из них, эти задачи не имеют особого теоретического значения, однако читателю, может быть, доставит удовольствие повозиться с ними.)
12. Найти число >7, такое, чтобы число ЗДО порождало число ЗДО.
13. Найти число ДО, такое, чтобы число ЗІЧГ порождало число 2ДО.
14. Найти число IV, такое, чтобы число ЗДО порождало число 32 ДО.
15. Существует ли такое число IV, для которого числа NNN2 и ЗN2 порождали бы одно и то же число?
16. Существует ли такое число ДО, ассоциат которого порождал бы число ДОДО? Существует ли несколько таких чисел ДО?
17. Существует ли такое число ДО, для которого число ДОДО порождало бы ассоциат этого ДО?
18. Найти число ДО, такое, чтобы ассоциат числа ДО порождал двойной ассоциат ДО.
19. Найти число ДО, которое порождает число ДО23.
20. Один отрицательный результат.
— Знаешь,—сказал Мак-Каллох,—я довольно
долго пытался найти число ДО, которое порождает число ДО2, однако до сих лор все мои попытки не увенчались успехом. Интересно бы узнать, такое число на самом деле не существует или же у меня просто не хватает сообразительности, чтобы его отыскать?
Эта задача сразу завладела вниманием Крейга. Он тут же вытащил записную книжку и карандаш н погрузился в размышления. Спустя некоторое время он сказал:
— Не трать понапрасну силы, такое число просто не может существовать.
Как Крейг догадался об этом?
118
Решения
1. Таким числом является, например, число 323. _ В самом деле, поскольку число 23 порождает число 3 (согласно правилу 1), то, согласно правилу 2, число 323 должно порождать ассоциат числа 3, а это и есть 323 — как раз то же самое число!
Существуют ли другие такие числа? По поводу ответа Крейга на этот вопрос смотри решение задачи 4.
2. Числом, которое нашел Крейг, было 33233. Действительно, любое число вида 332Х порождает двойной ассоциат X; так, число 33233 порождает двойной ассоциат числа 33 — то есть ассоциат ассоциата числа 33. Далее, ассоциат числа 33 есть исходное число 33233, и, следовательно, двойной ассоциат числа 33 есть ассоциат числа 33233. Итак, число 33233 порождает ассоциат числа 33233, или свой собственный ассоциат.
Как же было найдено это число, и является ли полученное решение единственным? Крейг дает ответы на эти вопросы при решении следующей задачи.
3. Здесь рассказывается о том, как Крейг отыскал решение задачи 2, а также о том, как он сумел ответить на вопрос, существуют ли какие-либо другие решения этой задачи. Тут я предоставлю слово ему самому:
«Моя задача заключалась в том, чтобы найти число Ы, которое порождает число Ы2Ы. Ясно, что это число должно иметь вид 2Х, 32Х, 332Х, 3332Х и т. д., причем мне нужно было отыскать X. Подошло бы в данном случае число вида 2Х? Совершенно очевидно, что нет, поскольку число 2Х порождает число X, которое, понятно, является более коротким (содержит меньше цифр), чем ассоциат числа 2Х. Поэтому ни одно число вида 2Х никак не могло оказаться подходящим.
Что можно сказать по поводу числа вида 32Х? Оно также порождает ассоциат числа X, который, очевидно, содержит меньшее число цифр, нежели ассоциат числа 32Х.
Теперь попробуем число вида 332Х. Это число порождает двойной ассоциат числа X, который имеет
119
вид Х2Х2Х2Х, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 332X, то есть число, которое записывается в форме 332Х2332Х. Далее, может ли число Х2Х2Х2Х оказаться тем же самым числом, что и 332X2332X? Прежде всего нужно сравнить относительную длину этих чисел. Так, если й—количество цифр в числе X, то число Х2Х2Х2Х должно иметь 4/г+З цифр (поскольку в нем четыре X и три двойки); в то же время число 332Х2332Х имеет 2Й+7 цифр. Может ли 4й+3 равняться 2/г +7? Да, но только в том случае, когда й —2. Итак, что касается длины, то число вида 332Х вполне может оказаться для нас подходящим, но лишь при условии, если количество цифр в X равняется двум.
Существуют ли еще какие-нибудь возможности? Посмотрим, например, что можно сказать по поводу числа вида 332Х. Такое число порождает тройной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х, тогда как нам необходимо получить ассоциат числа 3332Х, который записывается как 3332Х23332Х. Могут ли эти числа оказаться одинаковыми? Вновь обозначая через й длину числа X, находим, что число Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х2Х имеет 8й+7 цифр; в то же время число 3332Х23332Х имеет 2й+9 цифр. Равенство 8й+7=2й+9 может выполняться, только если /г = 1/3, и, следовательно, в данном случае целочисленного значения не существует. Итак, числа вида 3332Х нам также не подходят.
