Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
26.— Мне в голову пришел еще один вопрос,— сказал Мак-Каллох.— Существует ли такое число X, которое порождает повторение числа Х67? Или, в более общем виде: действительно ли для любого числа А существует такое число X, которое порождает повторение числа ХА? Или, если задать вопрос в еще более общем виде: действительно ли для любого числа А и для любого операционного числа М должно существовать некоторое число X, которое порождает М(ХА)?
Обсуждение. Принцип Крейга справедлив не только для второй машины Мак-Каллоха, но и для первой — а в сущности и для любой машины, в которую заложены правила 1 и 2. Это означает, что, как бы мы ни расширяли первую машину Мак-Каллоха, вводя в нее новые правила, работа результирующего устройства все равно будет подчиняться принципу Крейга (а фактически обоим его принципам).
Первый принцип Крейга связан с одним из знаменитых результатов теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о рекурсии (или, как ее иногда называют, теоремы о неподвижной точке). С помощью правил 1 и 2, предложенных Мак-Каллохом,
этот результат получается, пожалуй, наиболее простым способом. Кроме того, эти правила обладают еще одним занятным свойством (связанным уже с другим знаменитым результатом теории вычислимых функций, известным под названием теоремы о двойной рекурсии), о котором пойдет речь в следующей главе. Наконец, все эти сведения имеют отношение к теории самовоспроизводящихся машин и теории клонирования.
Решения
1.— С помощью твоей теперешней машины можно получить бесконечное множество чисел, которые порождают сами себя,— сказал Крейг.
— Это верно,—согласился Мак-Каллох.— Но как ты это докажешь?
— Начнем с того,— сказал Крейг,— что будем называть некое число БА числом, если оно обладает тем свойством, что для любых чисел X и У в случае, если X порождает У, число БХ порождает ассоциат У. До того как ты ввел свое новое правило, единственным А-числом у нас было число 3. Однако для твоей нынешней машины существует бесконечное множество А-чисел, причем для любого А-числа 5 число 32Б обязательно должно порождать само себя, поскольку число Б2Б порождает ассоциат числа Б, который и есть Б2Б.
— А как ты догадался, что существует бесконечное множество А-чисел? — спросил Мак-Каллох.
— Ну, во-первых,— ответил Крейг,— надеюсь, ты не будешь возражать, что при любых числах X и У, если число X порождает У, то число 44Х будет также порождать У ?
— Удачное наблюдение!—воскликнул Мак-
Каллох.— Конечно, ты прав: ведь если X порождает У, то число 4Х порождает обращение числа У, а значит, число 44Х должно порождать обращение обращения У—то есть само это число У.
— Прекрасно,— продолжал Крейг.— Таким образом, если X порождает У, то число 44Х будет тоже порождать У, и поэтому число 344Х будет порождать ассоциат числа У. Значит, 344 тоже представляет собой
А-число. А раз 344—это А-число, то число 3442344 должно также порождать само себя!
— Замечательно,— сказал Мак-Каллох,— теперь у нас есть уже два числа—323 и 3442344, которые порождают сами себя. Но разве это позволяет нам сделать вывод о бесконечном множестве таких чисел?
— Видишь ли,—сказал Крейг,— если число 5 является А-числом, то А-числом должно быть также и число 544, поскольку для любых чисел X и У, если X порождает У, то число 44Х тоже порождает У, а значит, число 544Х порождает ассоциат У, поскольку 5 по условию есть А-число. Таким образом, А-числами являются такие числа, как 3, 344, 34444, и вообще А-числом является любое число, состоящее из тройки, за которой следует любое четное число четверок. Итак, число 323 порождает само себя; то же самое можно сказать о числах 3442344, 34444234444 и т. д. Следовательно, мы действительно имеем бесконечное множество решений.
— Но, между прочим,—добавил Крейг,— ведь существуют и другие решения. Например, числа 443 и 44443 тоже представляют собой А-числа. А-числом является также любое число, состоящее из четного числа четверок, тройки и опять четного числа четверок, как, например, число 4434444,—ведь для любого такого числа 5 число 82Б порождает самое себя.
2. Одно из решений—это число 43243. В самом деле, поскольку число 243 порождает 43, то число 3243 порождает ассоциат числа 43. Значит, число 43243 должно порождать обращение ассоциата числа 43, другими словами, обращение числа 43243 (поскольку число 43243—это ассоциат числа 43). Итак, число 43243 порождает обращение самого'себя.
Здесь читатель может поинтересоваться, а как же все-таки было найдено само число 43243. Может, с помощью сравнения соответствующих относительных длин? Нет, для доказательства свойств, относящихся к нынешней машине, метод сравнения относительных длин оказывается слишком громоздким. Как будет показано в конце этой главы, решение было найдено именно с помощью принципа Крейга.
3. Одним из решении является число 3432343. Мы предоставляем читателю самому найти число, порождаемое числом 3432343, и убедиться, что оно действительно представляет собой ассоциат обращения числа 3432343. (Это решение также было найдено с помощью принципа Крейга.)
