Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
-?fW(z + t) = U(z + t).
Так как, с другой стороны, V должна при t—0 свестись к постоянной, то окончательно придем к заключению
V=W{z + t)-W(z) + 4(t),
где (<) означает произвольную функцию только от t, которую, впрочем, можно было бы положить равной нулю, не ограничивая существенно общности.
Тогда находим
"л-(г)=-^-Н'(л) + 6’4>
UJ7r
где Ск не зависит от z, так что выражение (Ibis) приводится к виду
jdW' + jUc.d*',
где первый интеграл есть интеграл от полного дифференциала, а второй — абсолютный интегральный инвариант.
240. Рассмотрим таким же образом относительный инвариант порядка выше первого; пусть
| 2 Adu>
есть этот инвариант, который после замены переменных перейдет в
[ 2ял>'-
Интеграл
j2l^(z + <) — B(z)]du>' = J (1)
должен быть нулем, каково бы ни было замкнутое многообразие порядка р, на которое он распространен.
Интегральные инварианты
19
Следовательно, он должен удовлетворять определенным «условиям интегрируемости», аналогичным тем, которые выражают, что дифференциал первого порядка есть полный дифференциал.
Рассмотрим теперь многообразие V р измерений, но незамкнутое и ограниченное многообразием V р — 1 измерения, которое будет служить ему границей.
Интеграл (1), распространенный на многообразие V, не будет нулем, но если его вычислить для других аналогичных многообразий V', V", . . ., имеющих ту же границу и, найдем одно и то же значение, т. е. что значение интеграла (1) зависит только от границы V.
Он равен интегралу порядка р — 1
/ = (2)
распространенному на многообразие и, где йи>" означает любое произведение р — 1 дифференциалов, причем С есть функция от у, ъ и ?.
Очевидно, интеграл (2) есть функция от t, зависящая, кроме того, от многообразия V.
Рассмотрим его производную по Ц мы будем иметь
4Ы2т"-52в'<2+'>‘'"'
Эта производная, как это показывает ее последнее выражение, не меняется, если заменим < на ? — к и одновременно преобразуем V (или н), заменяя всюду г на л+Л.
Отсюда заключаем, что J имеет следующий вид:
/= (2 я (* + 0 йш"— (2 в (2)й<о".
где Б (г) — функция от х, у, г.
Интеграл
$2д(2)«г«>" (3)
порядка р — 1, однако его легко можно преобразовать в интеграл порядка р; достаточно применить преобразование, которое позволило нам в п. 238 перейти от интеграла (3) к интегралу (4), и обратное преобразованию, при помощи которого мы в настоящем пункте перешли от интеграла (1) к интегралу (2).
Интеграл (3), распространенный на многообразие и, равен поэтому интегралу порядка р
52д(2)егш', (4)
распространенному на многообразие V.
2*
20
Новые методы небесной механики. III
По аналогии с терминологией, принятой для однократных интегралов, мы скажем, что интеграл (4) есть интеграл от полного дифференциала. И действительно:
1) он равен нулю для всякого замкнутого многообразия;
2) он приводим к интегралу меньшего порядка.
Установив это, будем иметь
*=5 + *)*»'—$ 2Я(*)Ло',
где интегралы распространены на многообразие V.
Но это равенство может быть записано еще в виде
52[Д(* + 0 —-5 (* + *)] «*“' = 5 2[Я(*)— я (*)]*>',
и оно верно для любого многообразия V.
Это значит, что
5 2 Iя(*)—??(*)]*»'
есть абсолютный интегральный инвариант.
Итак, мы приходим к следующему результату.
Всякий относительный интегральный инвариант есть сумма интеграла от полного дифференциала и абсолютного интегрального инварианта.
241. Мы видели в п. 238, каким образом из относительного инварианта порядка р можно вывести абсолютный инвариант порядка р+1.
Очевидно, та же процедура применима к абсолютным инвариантам, так что можно было бы попытаться применить ее шаг за шагом и последовательно построить инварианты порядка 2, р+3, ....
Однако мы скоро остановились бы на этом пути.
Действительно, имеется случай, когда процедура, о которой идет речь, является иллюзорной, а именно, когда инвариант, который мы хотим преобразовать, является интегралом от полного дифференциала.
Интегральный инвариант, к которому привело бы преобразование, был бы тогда тождественно равен нулю.
Если теперь преобразовать инвариант порядка р, то получится инвариант порядка р+1, но этот инвариант есть интеграл от полного дифференциала, так что если мы захотим его снова преобразовать, то придем в результате к тождественному нулю.
Связь инвариантов с уравнением в вариациях
242. Возьмем снова систему
йх-, Лх2 йх,
Интегральные инварианты
21
Мы можем составить соответствующие уравнения в вариациях в том смысле, как они были определены в начале главы IV.
Для того чтобы составить эти уравнения, заменяем в уравнениях (1) х( на а:;+ ?< и пренебрегаем квадратами ?(; таким образом находим систему линейных уравнений
dXk t ! с I i dXk c /ox
dt — dXl dx2 + W
Между интегралами уравнений (2) и интегральными инвариантами уравнений (1) имеется внутренняя связь, которую легко заметить. Пусть
F (^1* ? ? ? » — COIlSt
— какой-либо интеграл уравнений (2). Это будет однородная функция относительно ? и, кроме того, зависящая каким-либо образом от х. Я всегда смогу предположить, что эта функция F однородна относительно ? степени 1, ибо если бы это было не так, то стоит лишь возвысить F в подходящую степень, чтобы найти однородную функцию степени 1. Рассмотрим теперь выражение
