Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы отдать себе в этом отчет, совершим замену переменных п. 237; наш инвариант перейдет в
| «777= | (В^у, + В23.у2 + . .. + В^у^ + Саг).
Коэффициенты В и С должны зависеть от у, но не от ъ.
Если выражение <Ш есть полный дифференциал, то функция 77 должна будет, следовательно, иметь вид
77 ~ 770 -|- г 77х,
где 77 „ и 111 — интегралы уравнений (1). Тогда будем иметь
ли
ЛЬ
? = 77].
Но мы имеем, если вернуться к старым переменпым ли ли ли_ „ , , ли
с2
ЛЬ ЛхЛ ^ Лха ' ' ' “I- (1х
Отсюда следует, что
Лх1 “1 1 Лх2 2 1 ‘ 1 Лхп
есть интеграл уравнений (1). Если это выражение равно нулю, то имеем
77, = 0, 77 = 770, и 77 есть интеграл уравнений (1).
252. Можно было бы умножить число примеров этого рода; я приведу из них лишь один.
Рассмотрим инвариант первого порядка вида
5 у 2 В№ + 2 2 С,, кЛх^хк = 5 у/(!>?
Пусть А — дискриминант квадратичной формы Ф.
Совершим замену переменных п. 237; наш инвариант перейдет в
{у 2 п'Лх'? + 22 с;, 1ЛхЛхк = [
Пусть А' — дискриминант квадратичной формы Ф'.
3 А. Пуанкаре, т. IX
34
Новые методы небесной механики. III
Пусть J — якобиан, или функциональный определитель х относительно х'\ будем иметь
Д' = Д72.
Кроме того, очевидно, что А' будет (как и коэффициенты В' и С') интегралом уравнений (1).
Пусть теперь дан инвариант n-го порядка
^ Mdx1dx2 ... dxn.
После замены переменных п. 237 он станет
J MJdx[dx2 . . . dx'n,
и MJ должно быть интегралом уравнений (1).
Отсюда я заключаю, что
Д'
мт ’
т. е.
д
~№
должно быть интегралом уравнений (1).
Замены переменных
253. При любой замене переменных х(, не затрагивающей переменной I, которая представляет время, необходимо только применить к интегральным инвариантам обычные правила замены переменных в простых или кратных определенных интегралах. Мы уже делали это несколько раз.
Однако замена переменной t представляет бблыпую трудность.
A priori могло бы даже показаться, что это преобразование не должно вести ни к какому результату.
И действительно: рассмотрим систему
= ... = ^-. (1) Л1 л2 п
Введем новую переменную определяемую соотношением
dt ___ „
где Z — заданная функция от хг, х2, . . ., хп.
Интегральные инварианты
Система (1) превратится в
(IX, _ d X.,
dlj
ZX, ZX., ‘ ‘ ZX,.
Предположим, что начальные значения а^, х%, . . представляют
собой координаты некоторой точки М0 пространства п измерений.
Если движение этой точки определяется уравнениями (1), где ? представляет время, то эта точка в момент т придет в М.
Если движение, напротив, определяется уравнениями (2), где /1 представляет время, то точка М0 в момент т придет в М'.
Рассмотрим теперь фигуру Е0, занятую в нулевой момент различными точками М0.
Если движение и деформация этой фигуры определяются уравнениями (1), то в момент ?= т она превратится в новую фигуру Е.
Если движение определяется уравнениями (2), то фигура Е0 в момент т превратится в новую фигуру Е', отличную от Е.
Р' не только будет отличной от Е, но она не будет также совпадать, вообще говоря, с каким-либо из положений, занимаемых Е в момент, отличный от момента ?= т.
Поэтому кажется, что параметры проблемы основательно изменены, и мы не должны ожидать, чтобы из инвариантов (1) можно было вывести инварианты (2).
Вот что, однако, происходит с инвариантами порядка п.
Совершим замену переменных п. 237; система (1) превратится в
Л1
а система (2) — в
dy 1 dy2____________
О О
dyi dy2
О О
dy„-
dy„~ i
~Г ’
ch
~z~
(Ibis)
(2ijis)
где предполагается, что 2 должна быть выражена в функции от у п Теперь положим
<1г
Г dz
^ = 1 т>
где интегрирование выполняется по z (у рассматриваются как постоянные). а нижний предел может зависеть от у.
Система (2) примет вид
dt1 = ^ = ^-=... =-%i=*L (2ter)
и будет иметь ту же форму, что и (Ibis).
36
Новые методы небесной механики. III
Пусть тогда
| ЛЫх1(1х2 ... (1хк
есть инвариант н-го порядка уравнений (1); при помощи замены переменных п. 237 он станет
Лийу^у2 .. . йуп^г,
где / — якобиан х относительно у и г, 1\Ы должно быть функцией от у. Тогда
^ М1ау16у.2... Лу^йг^ будет инвариантом уравнений (21ег);
1
будет инвариантом уравнений (2Ыз), и, наконец,
^ (1х1(1х2 . .. йхп
будет инвариантом уравнений (2).
Различные замечания 253Ь1в. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
с1х. = Х$Ь (1)
и их уравнения в вариациях
«Й, = 3,*. (2)
Предположим, что уравнения (1) допускают интегральный инвариант первого порядка
выражение будет интегралом уравнений (2).
С другой стороны, эти уравнения (2) будут допускать в качестве решения
где е — любая бесконечно малая постоянная [4].
Интегральные инварианты
37
Действительно, пусть
X. = ср. (/)
есть какое-либо решение уравнений (1); если е — очень малая постоянная, то
** = ч\ (г +г) = <р* (0 +Е
опять будет решением уравнений (1), и
^ = <Р, (* + е) — <Р< (О ?= е = еХ<
будет решением уравнений (2).
Отсюда следует, что
должно быть постоянно.
Следовательно, является интегралом уравнений (1).
Предположим теперь, что уравнения (1) допускают интегральный инвариант второго порядка
