Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 6

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 111 >> Следующая

J F {dx^, dxj, . .., dx^j; (3)
я говорю, что это интегральный инвариант системы (1).
Я замечаю сначала, что величина под знаком интеграла
F (dxv dx2t dxn)
есть бесконечно малая первого порядка, поскольку величины dxu dx2,. . ., dxn — бесконечно малые первого порядка, и что F — однородная функция первого порядка относительно этих количеств.
Интеграл (3), следовательно, конечен.
Установив это, допустим сначала, что фигура F0 сводится к бесконечно малой линии, концы которой имеют следующие координаты:
ХХ> ^2* • • • » Х1 Ч~ ?ц *2 ~f" ^2> ' • ?» Хп “Ь К’
Интеграл (3) сведется к единственному элементу и, следовательно, будет равен
/?(? 1, ?2, • ••,?„).
Это выражение, будучи интегралом уравнений (2), останется постоянным и будет иметь одно и то же значение для линии F0 и для линии F.
Если теперь линия F0 и, следовательно, линия F конечны, мы разбиваем линию F0 на бесконечно малые части. Интеграл (3), распространенный на одну из этих бесконечно малых частей линии F0, будет равен ин-
22
Новые методы небесной механики. III
тегралу (3), распространенному на соответствующую бесконечно малую часть линии Р. Интеграл, распространенный целиком на всю линию Р0, будет равен интегралу (3), распространенному целиком на всю линию Р.
Итак, интеграл (3) есть интегральный инвариант, что и требовалось доказать.
Обратно, допустим, что (3) — интегральный инвариант первого порядка; я говорю, что
будет интегралом уравнений (2).
Действительно, интеграл (3) должен быть одним и тем же для ли нии Р0 и для линии Р, каковы бы ни были эти линии, и, в частности, если Р0 сводится к бесконечно малому элементу, концы которого имеют координаты
Поскольку интеграл есть инвариант, это выражение (4) должно быть постоянным.
Итак, это есть интеграл уравнений (2), что и требовалось доказать.
243. Посмотрим теперь, чему соответствуют инварианты порядка выше первого.
Рассмотрим какие-нибудь два частных решения уравнений (2); пусть
ни были выбранные два решения, к постоянным, не зависящим от времени. Другими словами, функция Р будет интегралом системы
*4 И *4 + Е,.
Тогда интеграл (3) сводится, как мы это уже видели, к
У У-
1» > Ьц*
(5)
е;. к ^
(6)
которой удовлетворяют Е. и Е).
Интегральные инварианты
23
Сделаем более частную гипотезу и предположим, что Р имеет вид
есть интегральный инвариант уравнений (1).
Предположим, в самом деле, что фигура Р0 сводится к бесконечно малому параллелограмму, координаты вершин которого имеют значения
взятые при 1=0.
Фигура Р также будет подобна бесконечно малому параллелограмму, координаты вершин которого имеют значения
взятые при t=t.
Интеграл / сводится к единственному элементу, значение которого в точности равно
и, так как это выражение по предположению есть интеграл системы (б), то он будет иметь одно и то же значение для обеих фигур Р И
Предположим теперь, что Р и Р0 — две конечные поверхности; разложим Р0 на бесконечно малые параллелограммы, каждому из которых будет соответствовать элементарный параллелограмм на Р. Значение J одно и то же для каждого элемента на Р0 и для соответствующего элемента на Р\ следовательно, оно опять одинаково для всей поверхности Р0 и для всей поверхности Р.
Итак, интеграл J есть интегральный инвариант.
Обратное утверждение можно было бы доказать так же, как и в предыдущем пункте.
где А.к — функции только от X.
Тогда я утверждаю, что двойной интеграл
244. Очевидно, эта теорема является общей и применима к инвариантам порядка выше второго. Сформулируем ее еще раз для инвариантов
24
Новые методы небесной механики. III
третьего порядка. Рассмотрим три частных решения уравнений (2), Е,, эти три решения должны удовлетворять системе
<25*:
2ахк . (И
2
й?'к- йХк
Если система (7) допускает интеграл вида
6, е; к 2 л,*.! и
Е Е' Г
5, 5,
где коэффициенты А — функции от х, то тройной интеграл
I 2 А()к'! йл$хкйх1 будет интегральным инвариантом уравнений (1), и наоборот [3].
(7)
(Н)
(9)
Преобразование инвариантов
245. Так как инварианты приводятся таким образом к интегралам уравнения в вариациях, то легко найти очень большое число способов, которые позволяют преобразовывать эти инварианты.
Если известно некоторое число интегральных инвариантов уравнений
то из каждого из них выведем интеграл уравнении в вариациях
V *хк
^5* X? йхк ь /.)>
~лг~~2гпг '? { )
Комбинируя между собой эти различные интегралы, получим новый интеграл уравнений (2), откуда выведем новый инвариант уравнений (1).
Начнем с изучения случая инвариантов первого порядка.
Пусть
*1. ® Ф,
— некоторое число интегралов уравнений (1), причем эти интегралы будут функциями только от х(.
Интегральные инварианты
25
Пусть теперь
5 ^ (*ч), \ F2 (dxi)< ? ? ? > S Fя (dxi)
— g интегральных инвариантов первого порядка тех же уравнений (1). Функции под знаком интеграла
Fl(dxi)> F2 (dxi)’ ???. Fg (dxi)
зависят от x{ и их дифференциалов dxt. Они могут зависеть от х{ любым образом; однако относительно дифференциалов
dx1, dx2, ..dxn
они должны быть однородными первой степени.
Тогда
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed