Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 4

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 111 >> Следующая

Короче говоря, для того чтобы некоторое выражение было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы величина г не входила в него; у, йу и йг могут входить в него любым образом.
Рассмотрим выражение того же вида, что и выражение, которое мы рассмотрели в предыдущем параграфе
(2)
(3)
Интегральные инварианты
15
это выражение представляет интеграл порядка р, А — функция от хи хът ? •, х„> й(в — произведение р дифференциалов, взятых из числа п дифференциалов
?^2, ? ? ? I ^гХл"
Мы хотим узнать, является ли это выражение интегральным инвариантом; производя замену переменных, указанную выше, приведем выражение (3) к виду
5 ЦДАо',
где В — функция от у и г, с1и>' — произведение р дифференциалов, взятых из числа п дифференциалов
? ? ?> йг.
Чтобы выражение (3) было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы все В были независимы от г и зависели только от у.
Рассмотрим снова, как и в предыдущем параграфе, выражение
5 + (4)
где В{ и С; д. суть функции ОТ X.
После замены переменных это выражение примет вид
1 + !^С'(Лс1хЛх'к]
положил для бблыпей симметрии в обозначениях
Х{ Ух 2, ..., п 1); Хп = 2.
Чтобы выражение (4) было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы все В', и С\ к были независимы от г и зависели только от у.
Относительные инварианты
238. Мы можем попытаться теперь образовать относительные интегральные инварианты на замкнутых многообразиях. Предположим сначала, что р = 1, и разыщем условие того, что интеграл
| (А^х 1 + А 2<1х2 + ... + Ап<1х^ (1)
является интегральным инвариантом относительно замкнутых линий.
16
Новые методы небесной механики. Ill
Совершим замену переменных, указанную выше, тогда наш интеграл примет вид
[ (B1dyl + B2dy2 + ? • ? + + Bdz),
что я могу записать, возвращаясь к более симметричным обозначениям, введенным в конце предыдущего пункта, в виде
5 (Ibis)
Этот интеграл, распространенный на замкнутое одномерное многообразие, т. е. на замкнутую линию, может быть преобразован, согласно теореме Стокса, в двойной интеграл, распространенный на незамкнутое многообразие двух измерений, т. е. на незамкнутую поверхность; имеем
Но интеграл в правой части (2) должен быть абсолютным интегральным инвариантом, а не только инвариантом относительно замкнутых многообразий.
Итак, мы заключаем следующее:
Чтобы интеграл (1) был интегральным инвариантом относительно замкнутых линий, необходимо и достаточно, чтобы все биномы
dBf dBk dx'k dx'f
не зависели от z.
Точно так же пусть
J (3)
будет интегральным выражением порядка р того же вида, что и в предыдущих пунктах; мы хотим узнать, является ли это выражение интегральным инвариантом относительно замкнутых многообразий порядка р.
Мы предполагаем, что этот интеграл распространен на какое-то замкнутое многообразие порядка р; тогда теорема, аналогичная теореме Стокса, покажет нам, что он может быть преобразован в интеграл порядка р-{-1, распространенный на любое многообразие, замкнутое или незамкнутое, порядка р-\-1. Преобразованный интеграл записывается в виде
Знак + берется, если р — четное, и поочередно знак + и знак —, если р — нечетное. [Я отсылаю за большими подробностями к своему
Интегральные инварианты
17
мемуару о вычетах двойных интегралов (Acta Mathematica, том 7) и к моему мемуару, опубликованному в юбилейном выпуске Журнала Политехнической школы (Journal de l’Ecole Polytechnique), посвященном столетию журнала [2].]
Необходимое и достаточное условие того, чтобы (3) было интегральным инвариантом порядка р относительно замкнутых многообразий, заключается в том, чтобы (4) было абсолютным интегральным инвариантом порядка р+1.
239. Возьмем снова выражение (1) из предыдущего пункта и предположим, что оно является относительным инвариантом, скажем, интегральным инвариантом относительно замкнутых линий.
Приведем его к виду (Ibis) нашей заменой переменных.
Пусть М0 есть точка F0, а
— ее координаты.
Вк будут функциями от у и z, но я выделю z, записывая Вк в виде
есть полный дифференциал, который я полагаю равным ЛУ\ функция V будет зависеть не только от у и г, но еще и от ?. При ^=0 она должна свестись к постоянной.
Если мы предположим г бесконечно малым и обозначим через В'к (г) производную от Вк(г) по г, то выражение (3) приведется к
У\< У2' ? ? ? I У Я- !• Z
— ее координаты (в новых переменных). Пусть М — соответствующая точка F, а
Vi, Ух У„-1. z + t
5 2 вк (z + 0 5 2 Вк (z) dxk;
это означает, что выражение
2 [Вк (z + t) — Вк (z)] dxk
(3)
2 [tB'k (z)J dx'k.
Тогда выражение
2 B'k (z) dx'k
(4)
2 A. Пуанкаре, т. II
18
Нопые методы небесной механики. 111
ость полный дифференциал, который я полагаю равным dU. Функция U, определенная таким образом, будет зависеть от у и z, но не будет более зависеть от t. Я снова выделю z, записав U (z); тогда получается
j 2 В',, (z + t) dx'k = j dU(z + t)=U(z + t) + f (t),
где / (<) — произвольная функция от t. Но функцию U (z) можно рассматривать как производную по z от некоторой другой функции W (z), зависящей также от у, и мы получим
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed