Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть
Ер.....
суть р+д решений уравнений (2). Эти решения будут удовлетворять системе дифференциальных уравнений
?#=241г5!'’ <13)
(г, А = 1, 2, .п; ц = 1, 2, .р + д).
Тогда пусть Р[ означает результат замены в Р1 каждого произведения р дифференциалов соответствующим определителем, образованным при помощи р решений
ЕР. ЕР Ер.
Пусть также Р'г означает результат замены в Р% каждого произведения д дифференциалов соответствующим определителем, образованным при помощи д решений
Е$*+1>, Е<**>....Е^*».
Тогда произведение
Р'Р'
1 I1 2
будет интегралом системы (13).
30
Новые методы небесной механики. III
При этих предположениях подвергнем р+д букв
61*’, ....
какой-либо перестановке. Произведение Р[Р', перейдет в
р"Р"
1 1 ' 2
и это снова будет интегралом системы (13).
Мы приписываем этому произведению знак + , если перестановка принадлежит четной группе, т. е. если она приводится к четному числу перестановок между двумя буквами. Наоборот, мы приписываем произведению знак —, если перестановка не принадлежит к четной группе, т. е. если она приводится к нечетному числу перестановок между двумя буквами.
Во всех случаях выражение
± (14)
будет интегралом системы (13).
Мы имеем (р+д)! возможных перестановок, следовательно, получим (р+д)! выражений, аналогичных (14). Однако среди них будем иметь только
(р + 9)!
Р !<?!
различных, ибо выражение (14) не меняется, если переставлять между собой только р букв, входящих в Р[', и с другой стороны, только д букв между собой, которые входят в Р','.
Составим теперь сумму всех выражений (14). Опять получим интеграл системы (13). Но этот интеграл будет линейным и однородным относительно определителей порядка р+д, которые можно составить из букв
ЕР, ..., Е(т).
Следовательно, из него можно вывести инвариант порядка р+д уравнений (1).
Если р=д и Р± тождественно с Р2, то инвариант, полученный таким образом, будет тождественным нулем, если р — нечетное; но он не будет таковым, если р — четное, как я объяснил это в конце предыдущего параграфа.
Другие соотношения между инвариантами и интегралами
249. Посмотрим теперь, каким образом, зная некоторое число инвариантов, можно вывести один или несколько интегралов.
Сперва я предполагаю, что известны два инварианта /г-го порядка
^ М(1х1Лх2 ... (1хп
Интегральные инварианты
31
И
| М'(1х1(1х2 . . . (1хп,
где М и М' — функции от х\ я утверждаю, что отношение М'/М будет интегралом уравнений (1).
Действительно, рассмотрим уравнения в вариациях (2), и пусть
....
— п любых линейно независимых решений этих уравпений.
Эти п решений будут удовлетворять системе дифференциальных уравнений, аналогичной системам (6) и (7), которую я буду называть системой 5.
Пусть А — определитель, образованный при помощи п2 букв Р(Л>. Тогда
МА и М'А
будут интегралами системы 5; следовательно, то же будет и для отношения
М’
М ’
и так как это отношение зависит только от а; и не зависит от Е, то опо будет интегралом уравнений (1).
Тот же результат можно доказать другим способом.
Совершим замену переменных п. 237. Наши два интегральных инварианта превратятся в
^ М1<1у1<1у2. .. (1уп_:(1г
И
$ М’1с1у1с1у2 .. . с1уп_1йг,
где / означает якобиан, или функциональный определитель старых переменных хг, х2, . . ., хп относительно новых переменных уг, у2, . . г/,,-1- 2-
Согласно п. 237, М/ и М J должны зависеть только от
У\> г/г> ? • ? > г/я_],
следовательно, то же имеет место и для отношения М'/М, а так как всякая функция от у; есть интеграл уравнений (1), то это отношение — интеграл уравнений (1), что и требовалось доказать.
32
Новые методы небесной механики. III
250. Можно видоизменять эту методику несколькими способами. Пусть, например,
5 Рх (АО. { Р2 (йа:<). ? ? • - \РР (йа\)
— р линейных инвариантов первого порядка. Предположим, что мы имеем тождественно
^ = вд + ВД+...+л//р,
где М{ зависят только от х, но не от дифференциалов йх.
Я говорю, что М(, если р ^ л+1, будут интегралами уравнений (1). Действительно, пусть А{ к — коэффициент при йхк в Т'1/, мы должны будем иметь
к — к М3А3> к -(- ... МрАр< к.
Совершим замену переменных п. 237; наши инварианты перейдут в
5р;(*0, 5^(Ле;)........5 г, (&;).
Если, кроме того, положим
Р* = 2 -^1, к^Хк>
то получим
А\,к — М2А>2, к + мзА'з,к + • ? ? + МрАр, к-
Мы будем иметь здесь л линейных уравнений, из которых сможем найти лишь бы только было р ^ л+1.
Но коэффициенты А< к, согласно п. 237, зависят только от у, но не от г; следовательно, то же будет и для М(, а это значит, что М{ — интегралы уравнений (1).
251. Пусть теперь
Р (хг> х2> • ? хя)
— интеграл; ясно, что
Кй/’ , , (1Р , , , АР , \
— Лх1 + — йх2+...+~ах,1)
будет интегральным инвариантом первого порядка.
Тогда можно поставить себе следующий вопрос:
Рассмотрим интегральный инвариант первого порядка
| {А1йх1 + А2д,х2 -!-?•?+ Апйхя)
Интегральные инварианты 33
н предположим, что величина под знаком интеграла есть полный дифференциал; какое соотношение будет между интегралом от этого полного дифференциала и интегралами уравнений (1)?
